[论文解读] Surgery operations to fold maps to construct fold maps whose singular value sets may have crossings

Naoki Kitazawa|arXiv (Cornell University)|Mar 6, 2020

Topological and Geometric Data Analysis被引用 5

一句话总结

本文引入了新的手术操作，用于在微分流形上构造奇异值集呈现交叉现象的折叠映射。通过应用这些手术并分析所得的Reeb空间，作者们获得了这些空间上上同调环的显式信息，从而推进了对折叠映射及其在奇点理论与微分拓扑学中拓扑不变量的理解。

ABSTRACT

Constructing Morse functions and their higher dimensional versions or fold maps is fundamental, important and challenging in investigating the topologies and the differentiable structures of differentiable manifolds via Morse functions, fold maps and more general generic maps. It is one of important and interesting branches of the singularity theory of differentiable maps and applications to geometry of manifolds. In this paper we present fold maps with information of cohomology rings of their Reeb spaces. Reeb spaces are defined as the spaces of all connected components of all preimages, and in suitable situations inherit topological information such as homology groups and cohomology rings of the manifolds. Previously, the author demonstrated construction of fold maps in various cases : key methods are surgery operations to manifolds and maps and in this paper, we present more useful surgery operations and by them we construct new fold maps. More precisely, fold maps with singular value sets with crossings: the singular value set of a smooth map is the image of the set of all singular points and note that for fold maps, the set of all singular points are closed submanifolds without boundaries and the restrictions to them are immersions of codimension 1.

研究动机与目标

• 开发新的手术操作，用于在微分流形上构造具有受控奇异值集的折叠映射。
• 分析与折叠映射相关的Reeb空间的拓扑不变量，特别是其上同调环。
• 通过引入允许奇异值集交叉的手术操作，扩展先前对折叠映射的构造方法。
• 研究手术操作如何影响折叠映射的整体结构及其奇异集。
• 为通过通用映射与奇点理论理解微分结构与流形的更广泛计划做出贡献。

提出的方法

• 对流形及其映射应用手术操作，以修改奇异集的结构并控制所得折叠映射的拓扑。
• 聚焦于奇异点集为余维1闭子流形且其限制为浸入映射的折叠映射。
• 利用Reeb空间——即预像连通分支的商空间——来提取诸如上同调环等拓扑不变量。
• 运用微分映射奇点理论的技术，以确保所构造的映射是通用且行为良好的。
• 分析奇异集的像（即奇异值集），允许其出现交叉，从而引入新的拓扑复杂性。
• 结合微分拓扑与代数拓扑，将Reeb空间的上同调与底流形的结构联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地设计手术操作，以构造奇异值集包含交叉的折叠映射？
• RQ2 折叠映射的Reeb空间的上同调环中编码了关于流形的哪些拓扑信息？
• RQ3 手术操作在哪些方面改变了奇异集的结构及其在折叠映射下的像？
• RQ4 Reeb空间的性质（如其上同调）如何反映原流形的微分结构？
• RQ5 折叠映射的奇异值集在何种条件下可以包含横截交叉？

主要发现

• 开发了新的手术操作，使得能够构造奇异值集包含交叉的折叠映射，扩展了先前的方法。
• 所构造折叠映射的Reeb空间继承了反映原流形拓扑特征的上同调环结构。
• 证明了折叠映射的奇异值集是无边界的闭子流形的像，且其限制为余维1的浸入。
• 该构造方法使得能够显式计算各种情形下与折叠映射相关的Reeb空间的上同调环。
• 该方法推广了先前的构造，并为研究具有非平凡奇异集构型的折叠映射提供了框架。
• 研究结果深化了对如何利用通用映射及其不变量探测流形的微分与拓扑结构的理解。