[论文解读] Symbolic Dynamics, Partial Dynamical Systems, Boolean Algebras and C*-algebras Generated by Partial Isometries

Toke Meier Carlsen|ArXiv.org|Apr 7, 2006

Advanced Operator Algebra Research参考文献 20被引用 9

一句话总结

本文通过利用布尔代数的投影和部分等距，从离散部分动力系统构造一个普遍C*-代数，统一了与符号动力系统相关的三类C*-代数——双侧移位空间的交叉积、拓扑马尔可夫链的Cuntz-Krieger代数，以及单侧移位空间的C*-代数。关键贡献在于证明了这些看似不同的C*-代数均可作为单一构造的特例，并证明了当双侧移位空间具有某种特定性质时，其交叉积是相应单侧移位空间C*-代数的商代数。

ABSTRACT

We associate to each discrete partial dynamical system a universal C*-algebra generated by partial isometries satisfying relations given by a Boolean algebra connected to the discrete partial dynamical system in question. We show that for symbolic dynamical systems like one-sided and two-sided shift spaces and topological Markov chains with an arbitrary state space the C*-algebras usually associated to them, can be obtained in this way. As a consequence of this, we will be able to show that for two-sided shift spaces having a certain property, the crossed product of the two-sided shift space is a quotient of the C*-algebra associated to the corresponding one-sided shift space.

研究动机与目标

• 统一与符号动力系统相关的三类C*-代数构造：双侧移位空间的交叉积、拓扑马尔可夫链的Cuntz-Krieger代数，以及单侧移位空间的C*-代数。
• 证明这三类构造均可自然地源于基于离散部分动力系统和投影布尔代数的统一框架。
• 建立结构联系，证明当双侧移位空间满足特定条件时，其交叉积是相应单侧移位空间C*-代数的商代数。
• 阐明符号系统动力结构如何编码于其关联C*-代数的代数与算子理论性质之中。

提出的方法

• 利用部分等距及由投影布尔代数导出的关系，为每个离散部分动力系统关联一个普遍C*-代数。
• 将C*-代数构造为由满足由布尔代数和系统动力决定的关系的部分等距生成的普遍对象。
• 证明离散部分动力系统的C*-代数可实现为C*-部分动力系统的交叉积。
• 通过部分动力系统的协变表示，将C*-代数表示为希尔伯特空间上的算子。
• 证明单侧移位空间的C*-代数、双侧移位空间的交叉积，以及转移矩阵的Cuntz-Krieger代数，均作为一般构造的特例出现。
• 利用C*-代数的理想结构推导出主要结果：当移位满足特定性质时，双侧移位空间的交叉积是相应单侧移位空间C*-代数的商代数。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一种单一的代数构造，能够统一与任意状态空间的单侧移位空间、双侧移位空间以及拓扑马尔可夫链相关的C*-代数？
• RQ2 符号动力系统的结构如何反映在其部分等距与投影布尔代数生成的C*-代数的性质之中？
• RQ3 单侧移位空间的C*-代数与相应双侧移位空间的交叉积之间存在何种精确关系？
• RQ4 在何种条件下，双侧移位空间的交叉积会成为单侧移位空间C*-代数的商代数？
• RQ5 如何将与离散部分动力系统相关联的部分等距生成的普遍C*-代数实现为C*-部分动力系统的交叉积？

主要发现

• 与单侧移位空间关联的C*-代数，与相应离散部分动力系统构造的C*-代数之间存在自然同构。
• 当移位满足特定结构条件时，双侧移位空间的交叉积同构于相应离散部分动力系统的C*-代数。
• 具有任意状态空间的拓扑马尔可夫链的转移矩阵的Cuntz-Krieger代数，可作为离散部分动力系统的C*-代数出现。
• 对于具有指定性质的双侧移位空间，其交叉积是相应单侧移位空间C*-代数的商代数。
• 由满足布尔代数关系与离散部分动力系统关系的部分等距生成的普遍C*-代数，为上述三类C*-代数提供了一个统一框架。
• 离散部分动力系统C*-代数的理想结构已被刻画，从而得以推导出单侧与双侧移位C*-代数之间的商关系。