[论文解读] Symplectic neighborhood of crossing divisors

Roberta Guadagni|arXiv (Cornell University)|Nov 8, 2016

Geometric and Algebraic Topology参考文献 8被引用 3

一句话总结

本文建立了有限个正交相交的辛子流形的辛邻域定理，推广了Weinstein的管状邻域定理。它构造了其法丛的辛拼接（plumbing），并证明该并集的邻域微分同胚于拼接中零截面的邻域，且在紧致李群作用于辛流形时，亦存在相应的等变版本。

ABSTRACT

This paper presents a proof of the existence of standard symplectic coordinates near a set of smooth, orthogonally intersecting symplectic submanifolds. It is a generalization of the standard symplectic neighborhood theorem. Moreover, in the presence of a compact Lie group $G$ acting symplectically, the coordinates can be chosen to be $G$-equivariant.

研究动机与目标

• 将辛管状邻域定理推广至有限个正交相交的辛子流形的情形。
• 通过法丛的拼接构造此类并集邻域的辛模型。
• 确保该模型在所有交点处兼容，保持辛结构。
• 将结果推广至紧致李群作用下的等变情形。
• 为理解Kähler几何中的退化现象及广义辛求和提供基础。

提出的方法

• 定义法丛 $NX_i$ 的刚性拼接构造，附加数据以确保辛兼容性。
• 利用每个 $NX_i$ 上的联络 $\alpha_i$ 定义其上的闭非退化2-形式 $\omega_{\alpha_i}$。
• 通过共同嵌入 $\phi_{ij}$ 同时因子于 $\phi_i$ 和 $\phi_j$，建立嵌入 $\phi_i$ 与 $\phi_j$ 之间的兼容性条件。
• 证明当联络兼容且交集正交时，此类拼接可赋予全局辛形式 $\omega_{\mathcal{I}}$。
• 在等变情形下，构造 $G$-不变联络与 $G$-等变辛嵌入，利用等变分裂映射。
• 通过归纳法与局部模型构造，证明 $M$ 在 $\bigcup X_i$ 附近的辛形式由其在 $\bigcup T X_i$ 上的限制完全确定。

实验结果

研究问题

• RQ1 有限个正交相交的辛子流形的并集是否存在标准辛邻域？
• RQ2 如何使多个相交子流形之间的辛管状邻域嵌入保持兼容？
• RQ3 是否可通过法丛的拼接构造此类并集的全局辛模型？
• RQ4 该构造能否在紧致李群作用下实现等变化？
• RQ5 正交交集与标准辛模型存在性之间有何关系？

主要发现

• 有限个正交相交的辛子流形的并集的辛邻域微分同胚于其法丛辛拼接中零截面的邻域。
• 邻域上的辛形式完全由 $\omega$ 在子流形切空间上的限制决定，如引理1所示。
• 存在相容的辛嵌入 $\phi_i$，使得其公共交集可由一个因子于 $\phi_i$ 和 $\phi_j$ 的辛嵌入 $\phi_{ij}$ 建模。
• 当紧致李群 $G$ 作用于辛流形时，通过选择 $G$-等变联络，可使辛邻域与拼接结构均实现 $G$-等变化。
• 该结果为广义辛求和及与镜像对称相关的Kähler流形退化族提供了局部模型。
• 对于正交交集的子流形，存在辛同伦使其形变为正交交集，从而在形变后可应用主定理。