[论文解读] T-Duality and Homological Mirror Symmetry of Toric Varieties

Bohan Fang, Chiu-Chu Melissa Liu+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2008

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 34被引用 21

一句话总结

本文通过结合 coherent-constructible 对应关系与微观局部几何，精确建立了非奇异完备 toric 簇上 T-对偶性与同调镜像对称之间的联系。证明了在对偶格的余切丛的 Fukaya 类别中，一个等变充分线丛的 T-对偶拉格朗日子流形同构于其在镜像对称函子下的像，表明等变同调镜像对称由 T-对偶性所支配。

ABSTRACT

Let $X_Σ$ be a complete toric variety. The coherent-constructible correspondence $κ$ of \cite{FLTZ} equates $\Perf_T(X_Σ)$ with a subcategory $Sh_{cc}(M_\bR;\LS)$ of constructible sheaves on a vector space $M_\bR.$ The microlocalization equivalence $μ$ of \cite{NZ,N} relates these sheaves to a subcategory $Fuk(T^*M_\bR;\LS)$ of the Fukaya category of the cotangent $T^*M_\bR$. When $X_\Si$ is nonsingular, taking the derived category yields an equivariant version of homological mirror symmetry, $DCoh_T(X_\Si)\cong DFuk(T^*M_\bR;\LS)$, which is an equivalence of triangulated tensor categories. The nonequivariant coherent-constructible correspondence $\barκ$ of \cite{T} embeds $\Perf(X_\Si)$ into a subcategory $Sh_c(T_\bR^\vee;\barΛ_\Si)$ of constructible sheaves on a compact torus $T_\bR^\vee$. When $X_\Si$ is nonsingular, the composition of $\barκ$ and microlocalization yields a version of homological mirror symmetry, $DCoh(X_Σ)\hookrightarrow DFuk(T^*T_\bR;\barΛ_\Si)$, which is a full embedding of triangulated tensor categories. When $X_\Si$ is nonsingular and projective, the composition $τ=μ\circ κ$ is compatible with T-duality, in the following sense. An equivariant ample line bundle $\cL$ has a hermitian metric invariant under the real torus, whose connection defines a family of flat line bundles over the real torus orbits. This data produces a T-dual Lagrangian brane $\mathbb L$ on the universal cover $T^*M_\bR$ of the dual real torus fibration. We prove $\mathbb L\cong τ(\cL)$ in $Fuk(T^*M_\bR;\LS).$ Thus, equivariant homological mirror symmetry is determined by T-duality.

研究动机与目标

• 在 toric 簇的背景下，建立 T-对偶性与同调镜像对称之间严谨的联系。
• 证明 toric 簇上等变完美复形的镜像对称函子自然源于 T-对偶性。
• 在等变与非等变镜像对称的框架下，统一 coherent-constructible 对应关系与微观局部化。
• 证明一个等变充分线丛的 T-对偶拉格朗日子流形在 Fukaya 类别中同构于其在镜像对称函子下的像。

提出的方法

• 利用 coherent-constructible 对应关系 (κ)，将 toric 簇上的等变完美复形与实向量空间 Mℝ 上的构造层联系起来。
• 应用微观局部化 (μ)，将这些层映射到 T*Mℝ 的未缠绕 Fukaya 类别中的对象。
• 从等变充分线丛的 Hermitian 度量与平坦联络构造 T-对偶拉格朗日子流形。
• 在 Fukaya 类别中，建立 T-对偶拉格朗日子流形与复形在 τ = μ∘κ 复合下的像之间的同构。
• 利用支撑映射与等变陈类形式，将线丛的几何与余切丛中拉格朗日子流形的位置联系起来。
• 借助 [FLTZ]、[NZ] 与 [N1] 的结果，在 A∞ 类别设定下定义了张量结构与准等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 T-对偶性是否精确实现了 toric 簇上等变线丛的镜像对称对应？
• RQ2 coherent-constructible 对应关系如何与微观局部几何相互作用，以实现完整的同调镜像对称？
• RQ3 一个等变充分线丛的 T-对偶拉格朗日子流形能否被识别为其在镜像函子下的像？
• RQ4 toric 簇的等变同调镜像对称是否完全由 T-对偶性决定？

主要发现

• 复合 τ = μ∘κ 给出了非奇异完备 toric 簇上等变完美复形与 T*Mℝ 的 Fukaya 类别子类之间的 A∞ 类别准等价。
• 对于非奇异射影 toric 簇，一个等变充分线丛的 T-对偶拉格朗日子流形在 Fukaya 类别中同构于 τ(ℒ)。
• 通过乘积 ⋄ 定义的 Fukaya 类别上的张量结构，与 τ 下等变向量丛的张量积相容。
• T-对偶拉格朗日子流形的构造源于线丛的 Hermitian 度量与平坦联络，将微分几何与镜像对称联系起来。
• 充分线丛的支撑多面体对应于热带几何中阿莫eba 的极限，将代数几何与热带方法联系起来。
• 非等变版本的镜像对称作为全嵌入实现于 T*Tℝ∨ 的 Fukaya 类别中，且具有相同的 T-对偶性机制。