[论文解读] $T{\overline T}$, $\widetilde JJ$, $JT$ and $\widetilde JT$ deformations

Sergey Frolov|arXiv (Cornell University)|Jul 28, 2019

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 21被引用 8

一句话总结

本文将光锥规范方法推广至包含U(1)电流 $J^\alpha$, $\widetilde{J}^\alpha$ 与应力-能量张量 $T^\alpha{}_{\beta}$ 的十参数变形，推导出哈密顿量密度与能量的精确流方程。结果表明，通过恰当选择参数，$T\overline{T}$ 变形使 $J\Theta$ 与 $\widetilde{J}\overline{\Theta}$ 关系失效，导出新的广义约束，且谱完全由未变形的CFT决定，与全息与配分函数计算结果一致。

ABSTRACT

The light-cone gauge approach to $T{\overline T}$ deformed models is generalised to models deformed by U(1) conserved currents $J^α$, $\widetilde J^α$, stress-energy tensor $T^α_β$, and their various quadratic combinations of the form $ε_{αβ} K_1^αK_2^β$. It is then applied to derive a ten-parameter deformed Hamiltonian for a system of scalars with an arbitrary potential, the flow equations for the Hamiltonian density, and the flow equations for the energy of the deformed model. The flow equations disagree with the ones recently proposed in arXiv:1903.07606. The results obtained are applied to analyse a CFT with left- and right-moving conserved currents deformed by these operators. It is shown that with a proper choice of the parameter of the $T{\overline T}$ deformation the deformed CFT Hamiltonian density is independent of the parameters of the $JΘ$ and $\bar J\overline Θ$ deformations. This leads to the existence of two extra relations which generalise the $JΘ=0$ and $\bar J\overline Θ=0$ relations of the undeformed CFT. The spectrum of the deformed CFT is found and shown to satisfy the flow equations.

研究动机与目标

• 将光锥规范方法用于 $T\overline{T}$ 变形推广至包含守恒电流 $J^\alpha$, $\widetilde{J}^\alpha$ 与 $T^\alpha{}_{\beta}$ 的任意二次组合。
• 推导标量系统（含任意势能）中变形哈密顿量密度与能量的精确流方程。
• 通过推导一致的、依赖参数的流方程，解决与 arXiv:1903.07606 中先前提出的流方程之间的不一致。
• 分析左、右移动电流受 $T\overline{T}$, $JT$, $\widetilde{J}T$, 与 $\widetilde{J}J$ 变形的CFT谱，表明其完全由未变形理论决定。
• 建立广义约束，推广未变形CFT中 $J\Theta=0$ 与 $\widetilde{J}\overline{\Theta}=0$ 的关系。

提出的方法

• 引入一个十参数的正则变换，涉及与守恒电流 $J_a^\alpha$ 与 $\widetilde{J}^{a\alpha}$ 关联的辅助非动力学场 $V^a_\alpha$, $\widetilde{X}_a$, $\mathcal{U}_{a\alpha}$ 与 $\Upsilon^a$。
• 应用光锥规范固定哈密顿形式，将变形参数识别为光锥规范参数，推导出变形哈密顿量 $\mathcal{H}_\alpha$。
• 通过求解源于非临界弦理论规范不变性条件的齐次无粘性伯格斯方程，推导出哈密顿量密度与能量的流方程。
• 利用定义二次方程 $\mathcal{G}_2 \mathcal{H}_A^2 - \mathcal{G}_1 \mathcal{H}_A + \mathcal{G}_0 = 0$，将电流及其二次组合表示为 $\mathcal{H}_A$ 的有理函数，从而系统化推导流方程。
• 通过在Mathematica中使用符号计算验证流方程，即在代入定义方程后，验证所得多项式表达式是否恒为零。
• 通过分析目标空间度量分量并确保在变形参数下的一致性，确定流方程中系数 $c_{ij}$ 的值，得到唯一解。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将光锥规范方法用于 $T\overline{T}$ 变形推广至包含U(1)电流与应力-能量张量的任意二次组合？
• RQ2 所推导的变形哈密顿量密度与能量的流方程是否与 arXiv:1903.07606 中近期提出的方程一致？若不一致，是否揭示了先前形式的缺陷？
• RQ3 当CFT的左、右移动电流受 $T\overline{T}$, $JT$, $\widetilde{J}T$, 与 $\widetilde{J}J$ 算符变形时，其谱是否可完全由未变形谱决定？
• RQ4 在变形CFT中，哪些新的广义约束出现，以推广未变形理论中 $J\Theta=0$ 与 $\widetilde{J}\overline{\Theta}=0$ 的关系？
• RQ5 当 $T\overline{T}$ 参数被适当调节时，变形哈密顿量密度是否对某些变形参数独立？这对谱有何影响？

主要发现

• 所推导的哈密顿量密度与能量的流方程与 arXiv:1903.07606 中提出的方程不一致，表明先前形式存在缺陷。
• 通过恰当选择 $T\overline{T}$ 变形参数，变形CFT的哈密顿量密度将不再依赖于 $J\Theta$ 与 $\widetilde{J}\overline{\Theta}$ 的变形参数，从而导出新的广义约束。
• 变形CFT的谱完全由未变形CFT的谱决定，并满足所推导的流方程，与全息与配分函数结果一致。
• $JT$ 与 $\widetilde{J}T$ 变形与文献[4]中推导的谱公式一致，且 $T\overline{T}+JT$ 变形与[6,8]的结果一致。
• $\bar{J}T$ 与 $JT + \bar{J}T$ 变形给出了显式能量谱公式，推广了标准 $T\overline{T}$ 谱，其中动量与电荷项存在非平凡的相互作用。
• 通过符号计算验证流方程，确认了所推导方程的一致性，且在洛伦兹不变情况下计算速度显著提升。