[论文解读] Tangent categories of algebras over operads
本文在非稳定模型范畴中的丰富化操作符代数的切范畴与操作符模范畴之间建立了模型范畴等价性，扩展了先前的∞-范畴结果。通过稳定化技术和丰富化操作符的正规化，实现了对Quillen上同调系数的显式描述，并为丰富化范畴的余切复形计算奠定了基础。
Associated to a presentable $\\infty$-category $\\mathcal{C}$ and an object $X \\in \\mathcal{C}$ is the tangent $\\infty$-category $\\mathcal{T}_X\\mathcal{C}$, consisting of parameterized spectrum objects over $X$. This gives rise to a cohomology theory, called Quillen cohomology, whose category of coefficients is $\\mathcal{T}_X\\mathcal{C}$. When $\\mathcal{C}$ consists of algebras over a nice $\\infty$-operad in a stable $\\infty$-category, $\\mathcal{T}_X\\mathcal{C}$ is equivalent to the $\\infty$-category of operadic modules, by work of Basterra--Mandell, Schwede and Lurie. In this paper we develop the model-categorical counterpart of this identification and extend it to the case of algebras over an enriched operad, taking values in a model category which is not necessarily stable. This extended comparison can be used, for example, to identify the cotangent complex of enriched categories, an application we take up in a subsequent paper.
研究动机与目标
- 将操作符代数的∞-范畴切∞-范畴与操作符模范畴之间的识别结果推广至模型范畴设定。
- 将该识别结果推广至非稳定模型范畴中的丰富化操作符代数。
- 通过切范畴提供Quillen上同调系数的显式、可计算描述。
- 为通过此模型范畴框架计算丰富化范畴的余切复形奠定基础。
提出的方法
- 利用模型范畴的稳定化构造，将切范畴表示为代数上的参数化谱对象。
- 应用Sifted同伦上积的理论，证明操作符代数的遗忘函子保持此类上积。
- 利用[PS18]中的正规化结果，比较模型范畴中操作符代数与其∞-范畴对应物。
- 利用图范畴上的投影模型结构的张量结构，分析代数中的同伦上积。
- 通过Σ-上纤维操作符假设，建立代数切范畴与操作符模范畴之间的比较。
- 通过∞-操作符的正规化，将比较结果扩展至丰富化操作符。
实验结果
研究问题
- RQ1如何将∞-范畴中切∞-范畴与操作符模范畴之间的等价性提升至模型范畴层次？
- RQ2在何种条件下，丰富化操作符代数的遗忘函子能保持sifted同伦上积？
- RQ3如何用操作符模范畴描述非稳定模型范畴中代数切范畴的结构？
- RQ4能否通过此模型范畴框架计算丰富化范畴的余切复形？
- RQ5丰富化∞-操作符的正规化在建立模型范畴与∞-范畴切范畴之间的比较中起什么作用？
主要发现
- 在组合性对称单幕模型范畴中，若操作符为Σ-上纤维且可适配，则其操作符代数的切范畴与操作符模范畴等价。
- 该类操作符代数到其底层图范畴的遗忘函子保持sifted同伦上积。
- 操作符代数范畴的稳定化与操作符模范畴等价，将先前的∞-范畴结果推广至模型范畴设定。
- 通过正规化，该比较结果可扩展至丰富化操作符，使丰富化代数的切范畴可由操作符模范畴描述。
- 该框架为计算Quillen上同调与丰富化范畴的余切复形提供了模型范畴基础。
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