[论文解读] Dwyer-Kan localization revisited

Vladimir Hinich|arXiv (Cornell University)|Nov 17, 2013

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 11被引用 10

一句话总结

本文在∞-范畴与单纯范畴的背景下重新审视Dwyer-Kan局部化，通过同伦可交换骨架和普遍性质，建立了∞-局部化的普遍表征。证明了模型范畴之间的Quillen对在它们的底层∞-范畴上诱导出伴随对，并引入了右对称单性局部化的概念，证明了在关于拟同构的范畴上，其复形的∞-范畴存在右对称单性局部化。

ABSTRACT

A version of Dwyer-Kan localization in the context of infinity-categories and simplicial categories is presented. Some results of the classical papers by Dwyer and Kan on simplicial localization are reproven and generalized. It is proven that a Quillen pair of model categories gives rise to an adjoint pair of the DK localizations. Also a result on localization of a family of infinity-categories is proven. This, in particular, is applied to localization of symmetric monoidal infinity-categories, where some (partial) results are obtained.

研究动机与目标

• 为Dwyer-Kan局部化提供一个普遍的、∞-范畴化的表述，推广模型范畴理论中的经典结果。
• 通过一个关键引理（关于解析的）重新证明并扩展关于模型范畴的底层∞-范畴的经典结果。
• 证明模型范畴之间的Quillen对在它们的底层∞-范畴上诱导出伴随对，推广Lurie对单纯Quillen伴随的结论。
• 引入并研究∞-范畴中右对称单性局部化的概念，特别是在对称单性模型范畴的背景下。
• 证明在关于拟同构的范畴上，交换环上的复形的∞-范畴存在右SM局部化。

提出的方法

• 使用同伦可交换骨架，通过普遍性质将纤维单纯范畴的Dwyer-Kan局部化与∞-局部化联系起来。
• 应用一个关键引理（1.3.6），证明若一个函子在对象上满足解析条件，则它是一个DK局部化。
• 将模型范畴的底层∞-范畴构造为纤维-共纤维对象全子范畴的DK局部化。
• 将右对称单性局部化定义为一个泛性地将一组箭头映射为等价的伪单性函子。
• 将局部化的普遍性质应用于∞-范畴族，证明在特定条件下与同伦纤维相容。
• 通过将局部化实现为共纤维复形包含函子的右伴随，证明复形情形下右SM局部化的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何使用普遍性质在∞-范畴的语言中重新表述Dwyer-Kan局部化？
• RQ2 模型范畴之间的Quillen对是否在它们的底层∞-范畴上诱导出伴随对？
• RQ3 从对称单性模型范畴到其底层∞-范畴的过渡是否可在对称单性设定中描述为一个泛性构造？
• RQ4 在给定∞-范畴及其一组箭头时，右对称单性局部化在何种条件下存在？
• RQ5 交换环上的复形的∞-范畴是否是关于拟同构的复形范畴的右对称单性局部化？

主要发现

• 模型范畴之间的Quillen对在它们的底层∞-范畴上诱导出函子的伴随对，推广了Lurie对单纯Quillen伴随的结论。
• 在适度条件下，模型范畴的底层∞-范畴等价于其纤维-共纤维对象全子范畴的Dwyer-Kan局部化。
• 纤维单纯范畴的 hammock 局部化的同伦可交换骨架等价于由普遍性质定义的∞-局部化。
• 在关于拟同构的范畴上，交换环上的复形的∞-范畴存在右对称单性局部化，其可实现为共纤维复形全子范畴的局部化。
• 局部化的普遍性质确保任何将拟同构映射为等价的伪单性函子均可唯一地通过局部化因子化。
• 对于对称单性模型范畴，到同伦范畴的典范局部化函子是伪单性的，且共纤维对象的∞-范畴提供了右SM局部化。