[论文解读] Target Space Entanglement Entropy

Edward A. Mazenc, Daniel Ranard|arXiv (Cornell University)|Oct 16, 2019

Quantum many-body systems参考文献 26被引用 11

一句话总结

本文通过在目标空间中定义与空间子区域相关的可观测量子代数，而非基空间，采用代数方法提出目标空间纠缠熵。该方法在第一Quantized多体量子力学中与标准场论结果一致，并已推广至量子场论和σ模型，表明即使在基空间划分不明确时，纠缠熵仍保持有限且具有物理意义。

ABSTRACT

We define a notion of target space entanglement entropy. Rather than partitioning the base space on which the theory is defined, we consider partitions of the target space. This is the physical case of interest for first-quantized theories, such as worldsheet string theory. We associate to each subregion of the target space a suitably chosen sub-algebra of observables $\mathcal{A}$. The entanglement entropy is calculated as the entropy of the density matrix restricted to $\mathcal{A}$. As an example, we illustrate our framework by computing spatial entanglement in first-quantized many-body quantum mechanics. The algebra $\mathcal{A}$ is chosen to reproduce the entanglement entropy obtained by embedding the state in the fixed particle sub-sector of the second-quantized Hilbert space. We then generalize our construction to the quantum field-theoretical setting.

研究动机与目标

• 在目标空间而非基空间中定义空间分区的纠缠熵，动机来自第一Quantized弦理论和矩阵力学。
• 解决目标空间分区无法产生希尔伯特空间张量分解的问题，而这是标准纠缠熵定义的核心。
• 为世界膜弦理论和BFSS矩阵量子力学等系统建立一致的纠缠熵计算框架，其中基空间为点或平凡。
• 将新定义与标准第二Quantized场论纠缠熵进行比较，证明在非相对论性多体系统中结果一致。
• 将该构造推广至相互作用场论和σ模型，证明其有限性与物理一致性。

提出的方法

• 采用代数方法定义纠缠熵，通过限制到与目标空间子区域相关的可观测量子代数来构造约化密度矩阵。
• 在多体量子力学中，将代数 $\mathcal{A}$ 构造为在空间区域 $A$ 内位置投影算符生成的代数，并投影到对称（或反对称）子空间以处理玻色子（或费米子）。
• 通过引入对称投影算符 $P_{S_N}$ 确保代数包含多体算符，从而为不可区分粒子提供正确的纠缠结构。
• 证明代数 $\mathcal{A}$ 在每个粒子数子空间 $k$ 上为因子，允许张量积分解 $\mathcal{O} = \oplus_k \mathcal{O}_{A_k} \otimes \mathds{1}_{\bar{A}_k}$，从而支撑纠缠结构。
• 将该框架应用于两格点上的标量场，计算半空间划分下的纠缠熵，确认其有限性。
• 比较相对论场论中两种局域性概念——基于Fock基和基于场的分解——表明在一粒子态下其纠缠熵不同。

Figure 1: Distinction between partitions of the base space (left) versus target space (right). We illustrate the case of 2+1d scalar field theory for concreteness. At every point of the base space ( $\cong\mathbb{R}^{2}$ ) labeled by $\vec{x}$ , the local degree of freedom takes values in the target

实验结果

研究问题

• RQ1 当空间分区位于目标空间而非基空间时，如何一致地定义纠缠熵？
• RQ2 何种可观测量子代数能正确捕捉局限于目标空间子区域的测量访问？
• RQ3 在非相对论性多体系统中，所提出的纠缠熵是否与标准第二Quantized场论纠缠熵一致？
• RQ4 该框架如何推广至相互作用量子场论和σ模型？
• RQ5 粒子统计（玻色子与费米子）在定义目标空间代数及相应纠缠熵中起什么作用？

主要发现

• 当通过对称投影算符正确构建代数 $\mathcal{A}$ 以包含多体算符时，所提出的纠缠熵在非相对论性多体量子力学中重现了标准第二Quantized场论纠缠熵。
• 对于单粒子情形，通过代数框架计算的纠缠熵与标准场论结果一致，验证了该方法在最小设定下的有效性。
• 在两空间格点上的标量场情形，目标空间纠缠熵是有限且明确定义的，证实了该框架在量子场论中的可行性。
• 代数 $\mathcal{A}$ 在每个粒子数子空间 $k$ 上为因子，支持张量积分解，从而为纠缠熵作为各子空间之和提供理论依据。
• 在相对论场论中，两种竞争的局域性概念——基于Fock基与基于场的分解——在一粒子态下产生不同的纠缠熵，凸显了在这些设定中定义空间纠缠时的根本模糊性。
• 该框架成功推广至任意σ模型和相互作用场论，纠缠熵保持有限且具有物理意义。

Figure 2: (Top) For many of our most promising theories of quantum gravity, such as worldsheeet string theory or the BFSS matrix quantum mechanics, the emergent physical spacetime of interest is encoded in the target space of the theory. (Bottom) To each subregion of the target space, we associate a