[论文解读] Tautological module and intersection theory on Hilbert schemes of nodal curves

Ziv Ran|arXiv (Cornell University)|May 14, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 13被引用 4

一句话总结

本文为节点曲线的 Hilbert 模式构建了一个重言式模组，引入了通过判别除子作用递归计算重言丛 Chern 类的微分学方法。该方法使 Chern 数和枚举不变量的显式计算成为可能，例如在亏格 3 时计算双曲线族基本类，解决了节点曲线族枚举几何中长期存在的问题。

ABSTRACT

We study intersection theory on the relative Hilbert scheme of a family of nodal-or-smooth curves, over a base of arbitrary dimension. We introduce an additive group called 'discriminant module', generated by diagonal loci, node scrolls, and twists thereof, and determine the action of the discriminant or big diagonal divisor on this group by intersection. We show that this suffices to determine arbitrary polynomials in Chern classes, in particular Chern numbers, for the tautological vector bundles on the Hilbert schemes, which are closely related to enumerative geometry. The latest version includes some new explicit computations and reference to a computer program due to G. Liu implementing our intersection calculus.

研究动机与目标

• 开发在任意基概形上节点曲线相对 Hilbert 模式的系统化交点理论。
• 解决计算 Hilbert 模式上重言丛 Chern 数的开放问题，这对节点曲线族的枚举几何至关重要。
• 提供一种使用判别除子作用对重言丛 Chern 类多项式进行递归微分学的方法。
• 计算显式不变量，例如模空间中亏格 3 双曲曲线族的基本类。
• 通过重言式循环将经典枚举公式（例如关于多节线的公式）推广至节点曲线族。

提出的方法

• 引入由对角线位置、节点柱面及其扭量生成的重言式模组，构成几何循环的加法群。
• 定义判别（大对角线）除子，并通过旗型 Hilbert 模式递归确定其在重言式模组上的作用。
• 利用分裂原理和转移定理，将重言丛的 Chern 类与旗型 Hilbert 模式上判别作用联系起来。
• 在张量代数上应用范数算子和对角算子，以建模重言式循环运算。
• 利用边界数据和点态转移，将计算约化为边界分量上的 Mumford 重言式类。
• 利用 Kontsevich 对 Witten 猜想的证明，计算边界分量上的 Mumford 类。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统性地计算节点曲线 Hilbert 模式上重言丛的 Chern 数？
• RQ2 节点曲线族相对 Hilbert 模式的交点理论具有何种递归结构？
• RQ3 判别除子及其幂如何作用于重言式循环以确定 Chern 类多项式？
• RQ4 在稳定曲线模空间中，亏格 3 双曲曲线族的基本类是什么？
• RQ5 经典枚举公式（例如关于多节线的公式）如何推广至节点曲线族？

主要发现

• 亏格 3 时双曲曲线族的基本类被计算为 [\mathcal{HE}] = 9\lambda_1 - \delta_0 - 3\delta_1，与 Harris 和 Mumford 的结果一致。
• 本文提供了一种递归方法，通过判别除子作用计算重言丛 Chern 类多项式的任意多项式。
• Hilbert 模式上重言丛的 Chern 数可约化为边界分量上的 Mumford 重言式类，后者可通过 Kontsevich 对 Witten 猜想的证明进行计算。
• 判别除子在重言式模组上的作用完全通过旗型 Hilbert 模式递归确定。
• 该方法成功将经典多节线公式（例如四节线）推广至节点曲线族。
• 该框架解决了此前在 [22] 中未解决的 Hilbert 模式上重言丛 Chern 数计算的开放问题。