[论文解读] Tensor network non-zero testing

Sevag Gharibian, Zeph Landau+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 20, 2014

Quantum many-body systems参考文献 33被引用 3

一句话总结

本文研究张量网络非零测试（TNZ）的计算复杂性，证明一般TNZ不太可能属于多项式阶层（PH），除非该阶层发生坍塌。研究显示，非负与单射张量网络使TNZ在NP中可 tractable，从而首次为局部维数$D$为常数且$k \in O(\log n)$的交换式stoquastic $k$-SAT问题建立了NP上界。这揭示了一类新的量子哈密顿量，其交换变体在广泛条件下属于NP。

ABSTRACT

Tensor networks are a central tool in condensed matter physics. In this paper, we study the task of tensor network non-zero testing (TNZ): Given a tensor network T, does T represent a non-zero vector? We show that TNZ is not in the Polynomial-Time Hierarchy unless the hierarchy collapses. We next show (among other results) that the special cases of TNZ on non-negative and injective tensor networks are in NP. Using this, we make a simple observation: The commuting variant of the MA-complete stoquastic k-SAT problem on D-dimensional qudits is in NP for logarithmic k and constant D. This reveals the first class of quantum Hamiltonians whose commuting variant is known to be in NP for all (1) logarithmic k, (2) constant D, and (3) for arbitrary interaction graphs.

研究动机与目标

• 确定判断张量网络是否表示非零向量的计算复杂性。
• 分析张量网络非零测试特殊情形的复杂性，特别是非负与单射张量网络。
• 阐明对量子复杂性理论中交换$ k $-局部哈密顿量问题与stoquastic $ k $-SAT的影响。
• 识别交换$ k $-局部哈密顿量问题属于NP的条件，特别是当$ k $为对数级且局部维数$ D $为常数时。

提出的方法

• 形式化广义张量网络非零测试（gTNZ）问题，输入参数为$\alpha \geq \beta \geq 0$，且间隙$\alpha - \beta \geq 1$。
• 证明一般gTNZ为$\#P$-难，且除非多项式阶层坍塌，否则TNZ不属于$\Sigma_i^p$。
• 展示非负张量网络可通过非确定性验证一个非零范数的见证态，归约为NP。
• 构建从交换$ k $-局部哈密顿量问题到TNZ的非确定性多项式时间归约，利用交换项的谱投影算符。
• 利用具有非负矩阵元的stoquastic哈密顿量结构，证明其基态存在性问题属于NP。
• 利用单射张量网络的性质刻画非零网络，并推导复杂性界。

实验结果

研究问题

• RQ1 一般张量网络非零测试问题是否属于多项式阶层？若不属于，其后果是什么？
• RQ2 非负张量网络情形是否可在NP中求解？何种结构特性使其成为可能？
• RQ3 能否在NP中测试非零张量网络，是否意味着当$ k \in O(\log n) $且$ D \in O(1) $时，交换$ k $-局部哈密顿量问题属于NP？
• RQ4 能否利用来自交换哈密顿量的张量网络特定结构，使$ k $-CLH问题属于NP？
• RQ5 对于$ G $-单射张量网络，TNZ的复杂性如何？与单射或非负情形相比有何不同？

主要发现

• 一般张量网络非零测试（TNZ）不属于$\Sigma_i^p$（对任意$ i $），除非多项式阶层坍塌至$\Sigma_{i+2}^p$，表明其具有强烈的不可解性。
• 非负张量网络这一特例使TNZ成为NP-完全问题，即使在键维数为3的3-正则图上亦然。
• 当$ k \in O(\log n) $且局部维数$ D \in O(1) $时，stoquastic $ k $-SAT的交换变体属于NP，这是由于张量网络的非负结构。
• 当$ k \in O\left(\log n\right) $且$ D \in O(1) $时，存在从交换$ k $-局部哈密顿量问题到TNZ的非确定性多项式时间归约。
• 单射张量网络保证表示非零向量，但其逆命题不成立，表明单射性是保证非零输出的充分条件而非必要条件。
• 本研究首次确立了一类量子哈密顿量，其交换变体在所有对数级$ k $、常数$ D $及任意相互作用图下均属于NP。