[论文解读] Théorie de la réduction pour les groupes p-divisibles

L Fargues|arXiv (Cornell University)|Jan 24, 2019

Advanced Algebra and Geometry参考文献 25被引用 7

一句话总结

本文为 $p$-进域上的 $p$-除子群发展了 HN 分次理论，并将其应用于 Rapoport-Zink 空间与 $p$-进 Shimura 簇上的周期态射几何。关键结果表明，Rapoport-Zink 空间通用纤维在 de Rham 周期态射下的像恰好等于允许开集 $τ^a$，且在半稳定子簇上该态射是拟有限的，而在稳定子簇上存在一个典范截面。

ABSTRACT

Starting from our work on Harder-Narasimhan filtrations of finite flat group schemes over a $p$-adic field, we developp a theory of Harder-Narasimhan filtrations for $p$-divisible groups. We apply this to the study of the geometry of period morphisms for Rapoport-Zink spaces and to the $p$-adic geometry of Shimura varieties. We define and study in particular some fundamental domains for the action of Hecke correspondences.

研究动机与目标

• 将 HN 理论从有限平坦群概形推广到 $p$-进域上的 $p$-除子群。
• 利用该分次理论研究 Rapoport-Zink 空间周期态射的几何性质。
• 在 $p$-进 Shimura 簇中定义并分析 Hecke 对应关系的基本域。
• 建立 $p$-进版的 Griffiths 周期映射，并应用于 Shimura 簇的上同调。

提出的方法

• 通过归一化 $H[p^n]$（$n \geq 1$）的多边形，引入 $p$-除子群的归一化 HN 多边形。
• 定义半稳定 $p$-除子群及 HN 型群，其中 $p^n$-挠子群的 HN 分次相容。
• 构造一个下降算法，可有限时间内生成一个与给定群同构的 HN 型 $p$-除子群。
• 引入非归一化的 HN 多边形作为 $H[p^n]$ 多边形的上确界，证明其极限斜率等于归一化多边形的第一条斜率。
• 将该理论应用于 Rapoport-Zink 空间通用纤维，证明 de Rham 周期态射 $\pi_{dR}$ 将半稳定子簇满射到 $τ^a$。
• 使用钻石理论技巧，将非半稳定的 HN 花样描述为 $P_\nu(\mathbb{Q}_p)$-作用在钻石 $T_\nu$ 上的抛物诱导。

实验结果

研究问题

• RQ1 Rapoport-Zink 空间通用纤维上的周期态射 $\pi_{dR}$ 是否满射到允许开集 $τ^a$？
• RQ2 限制在半稳定子簇上的 $\pi_{dR}$ 是否为拟有限？
• RQ3 $\pi_{dR}$ 在稳定子簇上是否具有典范截面？
• RQ4 旗簇中的非半稳定 HN 花样是否为 Levi 子群的抛物诱导？
• RQ5 在 Hodge-Newton 分解下，$\mathrm{Gr}_{\mathrm{B}_{dR}}^{\leq \mu}$ 上的 HN 与 Newton 花样是否一致？

主要发现

• 半稳定子簇 $\mathcal{M}_\eta^{ss}$ 在周期态射 $\pi_{dR}$ 下的像是精确的允许开集 $\mathcal{F}^a$，从而证明了满射性。
• 限制态射 $\pi_{dR|\mathcal{M}_\eta^{ss}/p^\mathbb{Z}}$ 是拟有限的，意味着纤维是有限且平的。
• 在稳定子簇 $\mathcal{M}_\eta^s$ 上，周期态射 $\pi_{dR}$ 具有一个典范截面，使得 $\mathcal{M}_\eta^s/p^\mathbb{Z}$ 作为 $\mathcal{F}^a$ 的闭子簇被嵌入。
• 群 $H$ 的非归一化 HN 多边形具有极限斜率，等于 $H$ 的归一化 HN 多边形的第一条斜率，从而将两种构造联系起来。
• 旗簇中非半稳定的 HN 花样是 $P_\nu(\mathbb{Q}_p)$-作用在钻石 $T_\nu$ 上的抛物诱导，且满足 $S_\infty^{\mathrm{HN}=\nu} \cong T_\nu \times_{\underline{P_\nu(\mathbb{Q}_p)}} \underline{G(\mathbb{Q}_p)}$。
• 提出一个猜想：$\mathrm{Gr}_{\mathrm{B}_{dR}}^{\leq \mu}$ 上的 HN 与 Newton 花样一致当且仅当 $B(G, \mu^{-1})$ 是完全 Hodge-Newton 可分解的。