[论文解读] Fully Hodge-Newton decomposable Shimura varieties

Ulrich Goertz, Xuhua He+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 17, 2016

Advanced Algebra and Geometry参考文献 55被引用 18

一句话总结

本论文在组合条件称为霍奇-牛顿可分解性下，为仿射德利涅-卢斯蒂格簇和拉波波尔特-津克空间建立了霍奇-牛顿分解，并证明对于希米亚瓦，基本局部具有简单描述（作为 EKOR 品种的并集）当且仅当所有非基本牛顿品种是有限的，或满足某些分层相容性条件。关键结果是该性质与帕拉赫里级结构的选择无关，从而将先前仅限于拟分裂或超特殊情形的结果推广到了更一般的情形。

ABSTRACT

The motivation for this paper is the study of arithmetic properties of Shimura varieties, in particular the Newton stratification of the special fiber of a suitable integral model at a prime with parahoric level structure. This is closely related to the structure of Rapoport-Zink spaces and of affine Deligne-Lusztig varieties. We prove a Hodge-Newton decomposition for affine Deligne-Lusztig varieties and for the special fibres of Rapoport-Zink spaces, relating these spaces to analogous ones defined in terms of Levi subgroups, under a certain condition (Hodge-Newton decomposability) which can be phrased in combinatorial terms. Second, we study the Shimura varieties in which every non-basic $σ$-isogeny class is Hodge-Newton decomposable. We show that (assuming the axioms of \cite{HR}) this condition is equivalent to nice conditions on either the basic locus, or on all the non-basic Newton strata of the Shimura varieties. We also give a complete classification of Shimura varieties satisfying these conditions. While previous results along these lines often have restrictions to hyperspecial (or at least maximal parahoric) level structure, and/or quasi-split underlying group, we handle the cases of arbitrary parahoric level structure, and of possibly non-quasi-split underlying groups. This results in a large number of new cases of Shimura varieties where a simple description of the basic locus can be expected. As a striking consequence of the results, we obtain that this property is independent of the parahoric subgroup chosen as level structure. We expect that our conditions are closely related to the question whether the weakly admissible and admissible loci coincide.

研究动机与目标

• 将霍奇-牛顿分解推广到任意帕拉赫里级结构和非拟分裂群。
• 刻画希米亚瓦中基本局部可被简单描述为 EKOR 品种并集的情形。
• 证明该性质与帕拉赫里子群的选择无关。
• 将基本局部的结构与非基本牛顿品种的有限性及分层行为联系起来。
• 建立霍奇-牛顿可分解性条件与周期域中弱可接受与可接受局部重合之间的联系。

提出的方法

• 通过共轭特征标和帕拉赫里子群上的组合条件，发展仿射德利涅-卢斯蒂格簇和拉波波尔特-津克空间的群论霍奇-牛顿分解。
• 利用布饶特-蒂茨建筑的结构和群 J_b 的作用，分析有限域上簇的轨道与维数。
• 应用 EKOR 品种与牛顿分层的理论，将希米亚瓦的几何与勒维子群及其相关簇联系起来。
• 证明仿射德利涅-卢斯蒂格簇的维数为零当且仅当 J_b 轨道的集合是有限的，利用环群和有限域作用的性质。
• 通过映射的交换图，建立非基本牛顿分层中叶的有限性与 EKOR 品种包含于单个牛顿分层之间的等价性。
• 利用希米亚瓦数据的公理，将 EKOR 品种与牛顿分层的交集与仿射德利涅-卢斯蒂格簇的非空性联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，希米亚瓦的基本局部可被简单描述为 EKOR 品种的并集？
• RQ2 霍奇-牛顿可分解性条件如何与非基本牛顿分层的有限性相关？
• RQ3 具有简单基本局部的性质是否与帕拉赫里级结构的选择无关？
• RQ4 霍奇-牛顿可分解性条件与周期域中弱可接受与可接受局部的重合之间有何关系？
• RQ5 在霍奇-牛顿条件下，如何利用勒维子群对仿射德利涅-卢斯蒂格簇和拉波波尔特-津克空间的几何进行分解？

主要发现

• 在霍奇-牛顿可分解性条件下，霍奇-牛顿分解对仿射德利涅-卢斯蒂格簇和拉波波尔特-津克空间成立，该条件以组合形式表述。
• 对于 F 上的拟单群 G 的希米亚瓦，所有非基本牛顿分层为有限、EKOR 品种包含于单个牛顿分层，以及基本局部为 EKOR 型，这三个条件彼此等价。
• 这些等价条件的有效性仅依赖于希米亚瓦数据 (G, {μ})，与帕拉赫里子群 K 的选择无关。
• 仿射德利涅-卢斯蒂格簇 X(μ,b)_K 的维数为零，当且仅当其 k-点上 J_b-轨道的集合是有限的。
• X_w(b) 的非空性当且仅当 EKOR_{K,w} 与牛顿分层 S_{K,[b]} 的交集非空。
• EKOR_{K,w} 品种包含于单个牛顿分层中，当且仅当存在该分层中的某个 b，使得对应的仿射德利涅-卢斯蒂格簇 X_w(b) 非空。