[论文解读] The A_infty de Rham theorem and integration of representations up to homotopy

Camilo Arias Abad, Florian Schaetz|arXiv (Cornell University)|Nov 21, 2010

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 15被引用 3

一句话总结

本文通过陈氏重积分，构建了一个 A∞-函子，将李代数超代数的同伦表示整合到其无穷群胚的单位同伦表示中，将经典李理论推广至高阶结构。关键贡献是将德拉姆定理推广为同伦理论版本，从而实现超联络和高阶表示的平行移动。

ABSTRACT

We use Chen's iterated integrals to integrate representations up to homotopy. That is, we construct an A_infty functor from the representations up to homotopy of a Lie algebroid to those of its infinity groupoid. This construction extends the usual integration of representations in Lie theory. We discuss several examples including Lie algebras and Poisson manifolds. The construction is based on an A_infty version of de Rham's theorem due to Gugenheim. The integration procedure we explain here amounts to extending the construction of parallel transport for superconnections, introduced by Igusa and Block-Smith, to the case of certain differential graded manifolds.

研究动机与目标

• 通过构建同伦相干的积分函子，将经典李理论推广至同伦表示。
• 利用陈氏重积分，将 A∞-结构推广德拉姆定理。
• 为李代数超代数的表示积分至其无穷群胚提供统一框架。
• 当高阶同伦数据消失时，恢复普通表示理论作为特例。
• 通过微分 graded 流形上的 A∞-函子，建立超联络与高阶 holonomy 之间的联系。

提出的方法

• 利用陈氏重积分，将微分形式在链级别提升为奇异上链。
• 应用古根海姆的 A∞-版本德拉姆定理，将李代数超代数上的微分形式与其实无穷群胚上的奇异上链关联。
• 利用德拉姆复形上的 A∞-结构，构造 A∞-函子 R: Rep∞(A) → ˆRep∞(Π∞(A))。
• 通过规范不变性与 Mauer-Cartan 元素的扭变，确保 A∞-意义下的函子性与一致性。
• 使用移位算子 s 与结构映射 bn，定义与表示相关的分次向量空间上的 A∞-代数。
• 应用张量积构造 id_E ⊗ψ，将 A∞-函子扩展至分次代数上的模。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将李代数超代数的同伦表示积分至其无穷群胚的表示？
• RQ2 陈氏重积分在构造表示范畴之间 A∞-函子的过程中起什么作用？
• RQ3 A∞-德拉姆定理如何将经典德拉姆上同调推广至高阶同伦结构？
• RQ4 该构造在何种意义上恢复了平坦联络与表示的经典积分？
• RQ5 超联络与泊松结构如何融入此 A∞-框架下的高阶平行移动？

主要发现

• 本文构建了一个明确定义的 A∞-函子 R: Rep∞(A) → ˆRep∞(Π∞(A))，将李代数超代数 A 的同伦表示积分至其无穷群胚 Π∞(A) 的单位同伦表示。
• 该构造依赖于古根海姆的 A∞-版本德拉姆定理，通过陈氏重积分实现，提供了微分形式与奇异上链之间的拟同构。
• 当限制于普通表示（即平坦联络）时，A∞-函子 R 恢复了李理论中表示的经典积分。
• 该方法推广了伊古萨与布洛克-史密斯关于超联络的工作，通过 A∞-结构将平行移动扩展至高阶同伦数据。
• A∞-函子具有规范不变性，并尊重 Mauer-Cartan 元素的扭变，确保在形变下的一致性。
• 该框架适用于关键几何例子，包括李代数、李代数超代数的伴随表示，以及泊松流形，其中无穷群胚捕捉了辛同伦类型。