[论文解读] The Algebroid Structure of Double Field Theory

Athanasios Chatzistavrakidis, Larisa Jonke+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 5, 2019

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 29被引用 4

一句话总结

本文通过从双重化柯朗代数丛经投影构造DFT代数丛，揭示了双倍场论（DFT）背后的代数丛结构，表明DFT中的强约束对应于柯朗代数丛公理的一种特定松弛。主要贡献在于确立DFT作为前-DFT代数丛——其中雅可比恒等式与同态性质被受控地破坏——仅在施加强约束后才还原为标准柯朗代数丛。

ABSTRACT

By doubling the target space of a canonical Courant algebroid and subsequently projecting down to a specific subbundle, we identify the data of double field theory (DFT) and hence define its algebroid structure. We specify the properties of the DFT algebroid. We show that one of the Courant algebroid properties plays the role of the strong constraint in the context of DFT. The DFT algebroid is a special example when properties of a Courant algebroid are relaxed in a specific and dependent manner. When otherwise, we uncover additional structures.

研究动机与目标

• 在施加强约束之前，识别DFT背后的数学结构。
• 阐明DFT代数丛如何从加倍空间上的更大柯朗代数丛中产生。
• 研究强约束在将DFT代数丛还原为标准柯朗代数丛中的作用。
• 探索从柯朗代数丛到DFT经由中间代数丛类型的松弛结构链。

提出的方法

• 通过加倍标准柯朗代数丛结构，在 $TM \oplus T^*M \oplus TM \oplus T^*M$ 上构造一个双重化柯朗代数丛。
• 通过投影到特定子丛以定义DFT代数丛，同时保持Dorfman括号、对称配对和锚映射。
• 将强约束识别为条件 $\rho^K{}_I \eta^{IJ} \rho^L{}_J = 0$，该条件强制 $\langle \mathcal{D}f, \mathcal{D}g \rangle$ 为零。
• 分析柯朗代数丛公理的松弛：雅可比恒等式、同态性质与 $\mathcal{D}$-正交性，从而导出前-柯朗、前-前-柯朗与前-DFT代数丛。
• 使用超流形形式语言，将经典主方程 $\{\Theta,\Theta\}=0$ 的失效解释为 $\{\{\Theta,\Theta\},f\}=0$，从而刻画这些松弛结构。
• 证明DFT代数丛满足具有Dorfman括号的度量代数丛公理，包括莱布尼茨法则、相容性以及 $A \circ A = \mathcal{D}\langle A,A\rangle$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在施加强约束之前，DFT的数学结构是什么？
• RQ2 DFT代数丛与加倍空间上原始柯朗代数丛之间有何关系？
• RQ3 DFT代数丛中哪些柯朗代数丛公理由被松弛，这种松弛如何被控制？
• RQ4 DFT代数丛能否被理解为广义代数丛层级中的前-DFT代数丛？
• RQ5 强约束在从DFT代数丛还原为柯朗代数丛的过程中起何种几何作用？

主要发现

• DFT代数丛是一个前-DFT代数丛，其特征为雅可比恒等式与同态性质被破坏，但莱布尼茨法则与相容性条件得以保留。
• 强约束 $\rho^K{}_I \eta^{IJ} \rho^L{}_J = 0$ 等价于 $\langle \mathcal{D}f, \mathcal{D}g \rangle = 0$，后者恢复了缺失的柯朗代数丛公理。
• 在施加强约束后，DFT代数丛直接还原为标准柯朗代数丛，证实了DFT还原为超引力的已知结果。
• DFT代数丛结构等价于具有Dorfman括号的度量代数丛，满足 $A \circ (fB) = f(A \circ B) + (\rho(A)f)B$ 与 $A \circ A = \mathcal{D}\langle A,A\rangle$。
• 结构层级——柯朗代数丛 → 前-柯朗 → 前-前-柯朗 → 前-DFT代数丛——源于公理的逐步松弛，DFT位于还原前的最终阶段。
• 超流形形式语言确认，DFT代数丛对应于一个辛近李2-代数丛，其中对所有函数 $f$ 有 $\{\{\Theta,\Theta\},f\} = 0$，表明经典主方程的失效处于受控状态。