[论文解读] The arithmetic-geometric mean and isogenies for curves of higher genus

Ron Donagi, Ron Livné|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 1997

Algebraic Geometry and Number TheoryMathematics参考文献 3被引用 19

一句话总结

该论文通过曲线雅可比簇之间的同源映射，利用双值与三值构造方法，构建了高斯算术-几何平均在三性亏格情形下的类比。通过Weil配对性质，明确构造出一个雅可比簇与给定曲线同源的曲线，其同源映射的核为2-挠点中的拉格朗日子群。论文证明该构造在亏格 $ g \geq 4 $ 时失败，推广了通过Prym理论处理的亏格2情形。

ABSTRACT

Computation of Gauss's arithmetic-geometric mean involves iteration of a simple step, whose algebro-geometric interpretation is the construction of an elliptic curve isogenous to a given one, specifically one whose period is double the original period. A higher genus analogue should involve the explicit construction of a curve whose jacobian is isogenous to the jacobian of a given curve. The doubling of the period matrix means that the kernel of the isogeny should be a lagrangian subgroup of the group of points of order 2 in the jacobian. In genus 2 such a construction was given classically by Humbert and was studied more recently by Bost and Mestre. In this article we give such a construction for general curves of genus 3. We also give a similar but simpler construction for hyperelliptic curves of genus 3. We show that the hyperelliptic construction is a degeneration of the general one, and we prove that the kernel of the induced isogeny on jacobians is a lagrangian subgroup of the points of order 2. We show that for g at least 4 no similar construction exists, and we also reinterpret the genus 2 case in our setup. Our construction of these correspondences uses the bigonal and the trigonal constructions, familiar in the theory of Prym varieties.

研究动机与目标

• 将高斯算术-几何平均构造推广至更高亏格曲线，特别是三性亏格情形。
• 通过拉格朗日子群作为2-挠点核，显式构造一个雅可比簇与给定曲线同源的曲线。
• 利用模空间与单值性论证，证明此类构造在亏格 $ g \geq 4 $ 时不可能实现。
• 将经典亏格2的Humbert构造重新解释为双值构造的一个实例。
• 证明超椭圆三性亏格构造是普遍构造的退化情形。

提出的方法

• 利用Prym簇理论中的双值与三值构造方法，在曲线之间建立对应关系。
• 构造一个具有普通双重点的奇异曲线的双重覆盖，确保Prymy簇为极化主簇。
• 通过Weil配对性质，识别雅可比簇上同源映射的核为2-挠点中的拉格朗日子群。
• 应用周期映射与Torelli定理，关联曲线模空间与极化主阿贝尔簇模空间。
• 利用 $ \mathrm{Sp}(2g,\mathbb{R}) $ 中的单值性与余密度论证，证明当 $ g \geq 4 $ 时，Torelli子簇无法在某些同源映射下保持不变。
• 在特征不为2或3的情形下分析构造的形变类型，将结果推广至特征0以外的情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过具有拉格朗日子群核的雅可比簇同源映射，为三性亏格曲线构造高斯算术-几何平均的类比？
• RQ2 三性亏格构造是否通过双值构造推广了亏格2情形下的经典Humbert构造？
• RQ3 三性亏格构造是否存在一个超椭圆特例，可作为普遍构造的退化情形？
• RQ4 尽管2-挠点中存在拉格朗日子群，为何此类构造在亏格 $ g \geq 4 $ 时会失败？
• RQ5 在更高亏格情形下，由拉格朗日子群诱导的同源映射是否能保持Torelli子簇不变？这对模空间几何有何含义？

主要发现

• 通过三值与双值构造方法，显式给出了一个三性亏格曲线的构造，其雅可比簇与给定曲线同源，且同源映射的核为2-挠点中的拉格朗日子群。
• 证明了雅可比簇上诱导同源映射的核为2-挠点中的拉格朗日子群，满足所需的对称配对条件。
• 证明了超椭圆三性亏格情形是普遍三性亏格构造的退化情形，且保持同源结构不变。
• 将亏格2的Humbert构造重新解释为双值构造的一个实例，其核为2-挠点中的拉格朗日子群。
• 对于亏格 $ g \geq 4 $，此类同源构造不存在，因为Torelli子簇必须在极化主阿贝尔簇模空间中稠密，这与维数理论约束矛盾。
• 由同源映射与模群生成的单值群在 $ \mathrm{Sp}(2g,\mathbb{R}) $ 中稠密，这意味着若Torelli子簇在这些同源映射下不变，则其必须稠密，而这对 $ g > 3 $ 是不可能的。