[论文解读] The $b$-bibranching Problem: TDI System, Packing, and Discrete Convexity

Kenjiro Takazawa|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2018

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 9被引用 4

一句话总结

本文引入了 $b$-bibranching 问题，这是有向图中 bibranchings 和 $b$-branchings 的共同推广，并通过完全对偶整数线性规划和 $\mathrm{M}^\natural$-凸子模流公式化，建立了其多项式时间可解性。关键贡献是关于不相交 $b$-bibranchings 的最小-最大打包定理，该定理推广了 Edmonds 的不相交分支定理，并证明了 $b$-bibranching 多面体的整数分解性质。

ABSTRACT

In this paper, we introduce the $b$-bibranching problem in digraphs, which is a common generalization of the bibranching and $b$-branching problems. The bibranching problem, introduced by Schrijver (1982), is a common generalization of the branching and bipartite edge cover problems. Previous results on bibranchings include polynomial algorithms, a linear programming formulation with total dual integrality, a packing theorem, and an M-convex submodular flow formulation. The $b$-branching problem, recently introduced by Kakimura, Kamiyama, and Takazawa (2018), is a generalization of the branching problem admitting higher indegree, i.e., each vertex $v$ can have indegree at most $b(v)$. For $b$-branchings, a combinatorial algorithm, a linear programming formulation with total dual integrality, and a packing theorem for branchings are extended. A main contribution of this paper is to extend those previous results on bibranchings and $b$-branchings to $b$-bibranchings. That is, we present a linear programming formulation with total dual integrality, a packing theorem, and an M-convex submodular flow formulation for $b$-bibranchings. In particular, the linear program and M-convex submodular flow formulations respectively imply polynomial algorithms for finding a shortest $b$-bibranching.

研究动机与目标

• 将已知的关于 bibranchings 和 $b$-branchings 的结果统一并推广到一个共同的框架中。
• 为最短 $b$-bibranching 问题建立一个具有完全对偶整性的线性规划公式化。
• 证明关于不相交 $b$-bibranchings 的最小-最大定理，推广 Edmonds 的不相交分支定理。
• 证明 $b$-bibranching 多面体的整数分解性质。
• 为最短 $b$-bibranching 问题开发一个 $\mathrm{M}^\natural$-凸子模流公式化。

提出的方法

• 通过广义对偶变量构造，将 Schrijver 对 bibranchings 的完全对偶整性证明推广到 $b$-bibranching 设置。
• 应用超模着色定理，借助广义拟模体，证明不相交 $b$-bibranchings 的打包定理。
• 通过扩展 Edmonds 对分支的交换性质，利用 $b$-branchings 的打包定理，建立 $b$-branchings 的交换性质。
• 通过证明最短 $b$-branching 函数的离散凸性，并从 LP 公式化出发使用 Benders 分解，推导出 $\mathrm{M}^\natural$-凸子模流公式化。
• 在顶点子集 $S$ 和 $T$ 上定义两个 $\mathrm{M}^\natural$-凸函数 $g_S$ 和 $g_T$，分别表示在度数约束下的最小权 $b$-branching 和 $b$-cobranching。
• 将最短 $b$-bibranching 问题约化为带有流变量界和边界流域约束的 $\mathrm{M}^\natural$-凸子模流问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 bibranching LP 的完全对偶整性是否可以推广到 $b$-bibranching 问题？
• RQ2 是否存在一个关于不相交 $b$-bibranchings 的最小-最大打包定理，以推广 Edmonds 的不相交分支定理？
• RQ3 $\mathrm{M}^\natural$-凸子模流公式化是否可以从 bibranchings 推广到 $b$-bibranchings？
• RQ4 $b$-bibranching 多面体是否具有整数分解性质？
• RQ5 如何利用离散凸性设计最短 $b$-bibranching 问题的组合算法？

主要发现

• 证明了最短 $b$-bibranching 问题的线性规划公式化具有完全对偶整性，意味着可通过椭球法实现多项式时间求解。
• 建立了关于不相交 $b$-bibranchings 的最小-最大定理，该定理同时推广了 bibranching 和 $b$-branching 的打包定理。
• 证明了 $b$-bibranching 多面体具有整数分解性质，这是多面体组合学中的一个关键结构性结果。
• 为最短 $b$-bibranching 问题推导出 $\mathrm{M}^\natural$-凸子模流公式化，从而支持组合多项式时间算法的设计。
• 通过交换性质建立了最短 $b$-branching 函数的离散凸性，扩展了已知的最短分支的离散凸性。
• 通过在顶点子集上定义 $\mathrm{M}^\natural$-凸函数 $g_S$ 和 $g_T$，构建了 $\mathrm{M}^\natural$-凸子模流公式化，目标函数结合了弧权重和边界流的函数值。