[论文解读] The Basics of Weak Galerkin Finite Element Methods

Junping Wang, Xiu Ye|arXiv (Cornell University)|Jan 28, 2019

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 33被引用 3

一句话总结

本文澄清了弱伽辽金有限元法（WG-FEM）与可 hybridized 的不连续伽辽金（HDG）方法之间的概念与方法论差异，证明尽管两者具有部分数学根源，但其哲学基础截然不同。作者通过理论分析与一个数值例子，证明即使在使用相同有限元空间的情况下，原始 WG-FEM 也与现有 HDG 方法不等价，其变分格式存在根本性不匹配。

ABSTRACT

The goal of this article is to clarify some misunderstandings and inappropriate claims made in [6] regarding the relation between the weak Galerkin (WG) finite element method and the hybridizable discontinuous Galerkin (HDG). In this paper, the authors offered their understandings and interpretations on the weak Galerkin finite element method by describing the basics of the WG method and how WG can be applied to a model PDE problem in various variational forms. In the authors' view, WG-FEM and HDG methods are based on different philosophies and therefore represent different methodologies in numerical PDEs, though they share something in common in their roots. A theory and an example are given to show that the primal WG-FEM is not equivalent to the existing HDG [9].

研究动机与目标

• 纠正[6]中关于弱伽辽金法与 HDG 方法等价性的误解。
• 阐明 WG-FEM 与 HDG 之间尽管有共同的数学基础，但其哲学与方法论上的根本差异。
• 通过理论分析与一个实例，证明原始 WG-FEM 与现有 HDG 格式不等价。
• 基于统一的基函数框架，对混合化混合 WG-FEM 与 HDG 格式进行系统性比较。
• 反驳‘WG-FEM 仅仅是 HDG 的重述’这一说法，强调两种方法在设计原理上的本质区别。

提出的方法

• 作者为模型 PDE 构建了三种变分形式：原始形式、原始-混合形式与混合形式（对偶混合形式），作为 WG 与 HDG 方法的基础。
• 针对每种变分形式，构建了相应的弱伽辽金 FEM：原始 WG-FEM、原始-混合 WG-FEM 与混合 WG-FEM，使用离散弱梯度与稳定化项。
• 通过应用 Fraeijs de Veubeke 方法，将混合 WG-FEM 推导为混合化形式，类似于混合 FEM 的混合化处理。
• 将混合化混合 WG-FEM 重新表述，使其能与 HDG 方法进行直接比较，使用相同的有限元空间与基函数。
• 通过在相同离散化框架下对齐两种方法的未知量与控制方程，完成比较。
• 构造一个反例，使用特定系数函数 a(x) = 1 + x，表明两种方法的双线性形式不匹配，从而证明其不等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当使用相同的有限元空间与基函数时，原始弱伽辽金有限元法是否与现有可 hybridized 的不连续伽辽金方法等价？
• RQ2 尽管有共同的数学基础，弱伽辽金法与 HDG 方法之间在根本的哲学与方法论上存在哪些差异？
• RQ3 混合化混合 WG-FEM 是否可被重新表述，以实现与 HDG 方法在未知量与线性系统层面的直接、公平比较？
• RQ4 文献[6]中引入的 HDG 第二种形式是否真正代表了原始 WG-FEM 的重述？若是，其成立条件为何？
• RQ5 文献[6]中‘2013 年 WG 方法是混合方法’的说法是否准确，尤其在具有变系数的问题中？

主要发现

• 即使在使用相同的有限元空间与基函数的情况下，原始 WG-FEM 也与现有 HDG 方法不等价，这一结论通过一个理论反例得到证实。
• 弱伽辽金法与 HDG 方法的双线性形式存在根本性差异：对于 a(x) = 1 + x 的特定测试情形，恒等式 (9.11) 不成立，因为 3/2 (ln 2)² ≠ ln 2。
• 文献[6]中引入的 HDG 第二种形式，在特定有限元空间与稳定化参数选择下，被证明是原始 WG-FEM 的一种重述。
• 作者拒绝‘WG-FEM 仅仅是 HDG 的重述’这一说法，认为 WG-FEM 是一种基于独特基础原理的独立数值方法论。
• 文献[6]中关于‘2013 年 WG 方法是混合方法’的说法是错误的，尤其在具有变扩散系数 a(x) 的问题中更为明显。
• 混合化混合 WG-FEM 与 HDG 在结构上具有相似性，但其底层公式化与求解机制存在差异，证实二者并非同一方法。