[论文解读] The C 1+ hypothesis in Pesin theory revisited

Christian Bonatti, Sylvain Crovisier+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2013

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 12被引用 3

一句话总结

该论文表明，在每个紧致3-流形上，C¹微分同胚空间中的一个典型开子集支持不可数多个不相交的双曲遍历测度，这些测度具有吸引和排斥邻域。关键的是，这些测度支撑集中的点缺乏稳定和不稳定流形——这与经典Pesin理论形成鲜明对比，后者在更高正则性（C²或更光滑）条件下保证了此类流形的存在。

ABSTRACT

We show that for every compact 3-manifold M there exists an open subset of Diff 1 (M) in which every generic diffeomorphism admits uncountably many ergodic probability measures which are hyperbolic while their supports are disjoint and admit a basis of attracting neighborhoods and a basis of repelling neighborhoods. As a consequence, the points in the support of these measures have no stable and no unstable manifolds. This contrasts with the higher regularity case, where Pesin theory gives us the stable and the unstable manifolds with complementary dimensions at almost every point. We also give such an example in dimension two, without local genericity.

研究动机与目标

• 研究紧致3-流形上C¹拓扑下遍历测度的行为。
• 在缺乏更高正则性的情况下，确定典型C¹微分同胚下稳定与不稳定流形是否存在。
• 构造支撑集不相交且同时具有吸引和排斥邻域的双曲测度的例子。
• 将C¹情形与更高正则性情形进行对比，后者中Pesin理论保证了稳定与不稳定流形的存在。

提出的方法

• 在C¹拓扑中利用典型性，识别Diff¹(M)中具有所需动力学性质的开子集。
• 构造不可数多个具有不相交支撑集的双曲遍历概率测度。
• 证明这些测度支撑集同时具有吸引邻域基和排斥邻域基，表明不存在局部稳定或不稳定流形。
• 应用拓扑与测度论技术分析支撑集的结构及其动力学行为。
• 将结果推广至二维情形，尽管不具有局部典型性，以展示其更广泛适用性。
• 利用C¹情形下Pesin理论的失效，构造典型点处稳定/不稳定流形不存在的反例。

实验结果

研究问题

• RQ1 在3-流形的C¹拓扑下，不可数多个不相交的双曲遍历测度是否可能存在？
• RQ2 尽管这些测度是双曲的，其支撑集中点是否仍缺乏稳定与不稳定流形？
• RQ3 C²正则性的缺失如何影响经典Pesin理论在C¹设定下的有效性？
• RQ4 此类例子是否可在二维情形中构造，即使缺乏局部典型性？
• RQ5 这些测度的支撑集具有哪些拓扑与动力学性质？

主要发现

• 对每个紧致3-流形M，存在Diff¹(M)的一个开子集，使得该集合中典型微分同胚支持不可数多个具有不相交支撑集的双曲遍历测度。
• 这些测度支撑集同时具有吸引邻域基和排斥邻域基，表明不存在局部稳定或不稳定动力学。
• 这些测度支撑集中点不具有稳定或不稳定流形，与Pesin理论的预测相矛盾。
• 该构造可推广至二维情形，尽管不具有三维情形中所见的局部典型性。
• 结果凸显了经典稳定流形理论在C¹设定下的根本性崩溃，即使对双曲测度亦然。
• 典型点处稳定与不稳定流形的缺失，凸显了光滑遍历理论中C¹与更高可微类之间的关键差异。