[论文解读] The closures of test configurations and algebraic singularity types

Tamás Darvas, Mingchen Xia|arXiv (Cornell University)|Mar 10, 2020

Geometry and complex manifolds参考文献 76被引用 10

一句话总结

本文在凯勒几何中测试配置的闭包与拟全纯次次调和函数空间中代数奇点类型的闭包之间建立了深层对偶性。通过Legendre变换将有限能量测地线射线与代数奇点类型联系起来，证明了当且仅当其Legendre变换满足Bonavero的全纯Morse不等式时，一条射线可被测试配置逼近，从而统一了两种设定下的上同调与势论表征。

ABSTRACT

Given a Kähler manifold $X$ with an ample line bundle $L$, we consider the metric space of $L^1$ geodesic rays associated to the first Chern class $c_1(L)$. We characterize rays that can be approximated by ample test configurations. At the same time, we also characterize the closure of algebraic singularity types among all singularity types of quasi-plurisubharmonic functions, pointing out the very close relationship between these two seemingly unrelated problems. By Bonavero's holomorphic Morse inequalities, the arithmetic and non-pluripolar volumes of algebraic singularity types coincide. We show that in general the arithmetic volume dominates the non-pluripolar one, and equality holds exactly on the closure of algebraic singularity types. Analogously, we give an estimate for the Monge--Ampère energy of a general $L^1$ ray in terms of the arithmetic volumes along its Legendre transform. Equality holds exactly for rays approximable by test configurations. Various other cohomological and potential theoretic characterizations are given in both settings. As applications, we give a concrete formula for the non-Archimedean Monge--Ampère energy in terms of asymptotic expansion, and show the continuity of the projection map from $L^1$ rays to non-Archimedean rays. We also show that the closure of ample test configurations and filtrations gives the same set of rays.

研究动机与目标

• 表征由测试配置诱导的 $L^1$ 测地线射线空间中射线的闭包。
• 表征在 $d_{\mathcal{S}}$ 拟度量下，奇点类型空间 $\mathcal{S}$ 中代数奇点类型的闭包。
• 通过证明射线被测试配置逼近当且仅当其Legendre变换被代数奇点类型逼近，建立两个问题之间的对偶性。
• 表明一般情况下算术体积主导非极值体积，且等式成立当且仅当奇点类型属于代数类型的 $d_{\mathcal{S}}$ 闭包。
• 给出非阿基米德Monge–Ampère能量的显式公式，基于渐近展开，并证明从 $L^1$ 射线到非阿基米德射线的投影的连续性。

提出的方法

• 使用Legendre变换 $\hat{r}_\tau = \inf_{t>0}(r_t - t\tau)$ 将测地线射线与奇点类型关联。
• 应用Ross–Witt Nyström对应关系，将测试配置与奇点类型之间的对偶性推广。
• 采用非极值Monge–Ampère测度以及测地线射线空间 $\mathcal{R}^1$ 上的 $L^1$ 测地线度量 $d_1^c$。
• 利用拟等价奇异逼近 $[u_k]$ 表征奇点类型的 $d_{\mathcal{S}}$-逼近性。
• 通过三角不等式与衰减估计，利用 [DDNL21, 命题3.5] 中的常数 $C > 1$，证明逼近序列的收敛性。
• 应用 $\mathcal{I}$-模型性质与 $P[u] = P[u]_\mathcal{I}$ 约化，以简化奇点类型的分析。

实验结果

研究问题

• RQ1 何时有限能量测地线射线属于由测试配置诱导的射线的闭包？
• RQ2 何时奇点类型属于代数奇点类型在 $d_{\mathcal{S}}$ 拓扑下的闭包？
• RQ3 对于一般奇点类型，算术体积与非极值体积之间有何关系？
• RQ4 非阿基米德Monge–Ampère能量与非阿基米德Donaldson $\mathcal{L}$-泛函的渐近展开之间有何关系？
• RQ5 从 $L^1$ 测地线射线到非阿基米德射线的投影是否连续？

主要发现

• 测地线射线 $\{r_t\}$ 可被测试配置逼近，当且仅当其Legendre变换 $\hat{r}_\tau$ 满足Bonavero恒等式：$\lim_{k\to\infty} \frac{1}{k^n} h^0(X, L^k \otimes \mathcal{I}(k\hat{r}_\tau)) = \frac{1}{n!} \int_X \omega_{\hat{r}_\tau}^n$。
• 一般情况下算术体积主导非极值体积，且等式成立当且仅当奇点类型属于代数奇点类型的 $d_{\mathcal{S}}$ 闭包。
• 一条射线的非阿基米德Monge–Ampère能量等于非阿基米德Donaldson $\mathcal{L}$-泛函渐近展开中的首阶项。
• 从 $L^1$ 测地线射线到非阿基米德射线的投影映射关于 $d_1^c$ 度量是连续的。
• 对任意 $u \in \mathrm{PSH}(X,\omega)$，奇点类型 $[u]$ 可被代数类型 $d_{\mathcal{S}}$-逼近，当且仅当 $P[u] = P[u]_\mathcal{I}$ 且 $[u]$ 满足Bonavero恒等式。
• 极限 $\lim_{k\to\infty} k^{-n} h^0(X, T \otimes L^k \otimes \mathcal{I}(ku)) > 0$ 成立当且仅当 $\mathrm{nd}(L,u) = n$，在正线丛情形下重新证明了 [Cao14, 命题3.6]。