[论文解读] The Coherent-Constructible Correspondence for Toric Deligne-Mumford Stacks

Bohan Fang, Chiu-Chu Melissa Liu+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 24, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 33被引用 16

一句话总结

本文通过堆叠扇（stacky fans）将一致-可构造对应关系（coherent-constructible correspondence, CCC）从 торิก簇推广至 торик Дель-Пенроуз (Deligne-Mumford, DM) 堆栈，建立了堆栈上等变完美复形与余切丛中一个锥形拉格朗日子集上具有奇异支撑的可构造层之间的拟等价关系。关键结果是通过微观几何与T-对偶性，为 торик DM 堆栈建立了等变同调镜像对称。

ABSTRACT

We extend our previous work arXiv:1007.0053 on coherent-constructible correspondence for toric varieties to include toric Deligne-Mumford (DM) stacks. Following Borisov-Chen-Smith, a toric DM stack $\cX_\bSi$ is described by a "stacky fan" $\bSi=(N,\Si,β)$, where $N$ is a finitely generated abelian group and $\Si$ is a simplicial fan in $N_\bR=N\otimes_{\bZ}\bR$. From $\bSi$ we define a conical Lagrangian $Λ_\bSi$ inside the cotangent $T^*M_\bR$ of the dual vector space $M_\bR$ of $N_\bR$, such that torus-equivariant, coherent sheaves on $\cX_\bSi$ are equivalent to constructible sheaves on $M_\bR$ with singular support in $\LbS$.

研究动机与目标

• 将一致-可构造对应关系（CCC）从 торик簇推广至 торик Дель-Пенроуз (DM) 堆栈。
• 定义一个位于对偶格点余切丛中的锥形拉格朗日子集，以分类可构造层的奇异支撑。
• 在 торик DM 堆栈上的等变完美复形与具有关联拉格朗日子集奇异支撑的可构造层之间建立拟等价关系。
• 通过微局部化与T-对偶性，推导出 торик DM 堆栈的等变同调镜像对称（HMS）版本。
• 证明该对应关系在堆叠扇同态及其诱导映射下具有函子性与张量相容性。

提出的方法

• 从一个堆叠扇 $(N, \Sigma, \beta)$ 构造一个 торик DM 堆栈，其中 $N$ 是一个有限生成阿贝尔群，$\beta$ 编码堆叠数据。
• 利用堆叠扇数据，在对偶实向量空间 $M_{\mathbb{R}}$ 的余切丛 $T^*M_{\mathbb{R}}$ 中定义一个锥形拉格朗日子集 $Λ_{\mathbf{\Sigma}}$。
• 在堆栈 $Χ_{\mathbf{\Sigma}}$ 上的 $T$-等变完美复形的微分范畴与 $M_{\mathbb{R}}$ 上具有奇异支撑于 $Λ_{\mathbf{\Sigma}}$ 的可构造层范畴之间建立拟等价关系。
• 应用纳德拉与特鲁曼的微局部化定理，将可构造层与 $T^*M_{\mathbb{R}}$ 的弗克贝亚范畴（Fukaya category）在 $Λ_{\mathbf{\Sigma}}$ 支撑下的结构联系起来。
• 利用T-对偶性将堆栈的导出范畴与弗克贝亚范畴联系起来，构造T-对偶性函子 $τ = \mu \circ \kappa$。
• 通过卷积与拉格朗日对应函子，利用加法映射与图的法丛，证明函子性与张量相容性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将一致-可构造对应关系从 торик簇推广至 торик Дель-Пенроуз (DM) 堆栈？
• RQ2 在对偶格点的余切丛中，哪个几何对象（拉格朗日子集）可分类 торик DM 堆栈上可构造层的奇异支撑？
• RQ3 微局部化函子如何与导出范畴与弗克贝亚范畴上的张量积结构相互作用？
• RQ4 T-对偶性函子能否在堆叠扇的同态下保持函子性？
• RQ5 是否存在一个完全忠实、保持张量结构的拟等价，将 торик DM 堆栈的等变导出范畴与它的镜像弗克贝亚范畴联系起来？

主要发现

• 本文为堆叠扇 $Σ = (N, Σ, β)$ 构造了一个位于 $T^*M_{\mathbb{R}}$ 中的锥形拉格朗日子集 $Λ_{\mathbf{\Sigma}}$，该子集可分类 $M_{\mathbb{R}}$ 上可构造层的奇异支撑。
• 在等变完美复形与具有奇异支撑于 $Λ_{\mathbf{\Sigma}}$ 的可构造层之间，建立了拟等价关系 $κ: Π͐͐_{T}(\u03a7_{\mathbf{\Sigma}}) \to Sh_{cc}(M_{\mathbb{R}}; \u039b_{\mathbf{\Sigma}})$。
• 微局部化函子 $μ$ 提供了 $Sh_{cc}(M_{\mathbb{R}}; \u039b_{\mathbf{\Sigma}})$ 与弗克贝亚范畴 $F(T^*M_{\mathbb{R}}; \u039b_{\mathbf{\Sigma}})$ 之间的拟等价，从而实现同调镜像对称。
• 复合函子 $τ = \mu \circ \u03ba$ 产生一个 $A_\infty$-范畴之间的拟等价T-对偶性函子，且该函子保持张量结构。
• 该对应关系具有函子性：对于堆叠扇的同态，其在堆栈、对偶格点与拉格朗日子集上诱导的映射与CCC及微局部化函子可交换。
• 微局部化函子将可构造层上的卷积积与弗克贝亚范畴上的 $⊡$-积相互关联，确保了张量相容性。