[论文解读] The cohomology rings of regular semisimple Hessenberg varieties for $h=(h(1),n,\ldots,n)$

Hiraku Abe, Tatsuya Horiguchi+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 4, 2017

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 26被引用 12

一句话总结

本文以生成元与关系式的形式，明确给出了类型 $A_{n-1}$ 中具有 Hessenberg 函数 $h = (h(1), n, \ldots, n)$ 的正则半单 Hessenberg 簇的上同调环结构。主要结果给出了与上同调上的 $σ_n$-表示相容的环结构，自然地退化为 Borel 对旗流形上同调的表述，同时亦给出了该 $σ_n$-不变子环的显式表述。

ABSTRACT

We investigate the cohomology rings of regular semisimple Hessenberg varieties whose Hessenberg functions are of the form $h=(h(1),n\dots,n)$ in Lie type $A_{n-1}$. The main result of this paper gives an explicit presentation of the cohomology rings in terms of generators and their relations. Our presentation naturally specializes to Borel's presentation of the cohomology ring of the flag variety and it is compatible with the representation of the symmetric group $\mathfrak{S}_n$ on the cohomology constructed by J. Tymoczko. As a corollary, we also give an explicit presentation of the $\mathfrak{S}_n$-invariant subring of the cohomology ring.

研究动机与目标

• 确定类型 $A_{n-1}$ 中具有形式 $h = (h(1), n, \ldots, n)$ 的 Hessenberg 函数的正则半单 Hessenberg 簇的上同调环结构。
• 以生成元与关系式的形式，提供上同调环的显式表述，扩展 Borel 对旗流形的表述。
• 建立该环结构与 Tymoczko 构造的上同调上的 $σ_n$-表示之间的相容性。
• 通过对称多项式和关系式 $\check{x}_1 \prod_{\ell=2}^{h(1)} (\check{x}_1 - \check{x}_\ell) = 0$，显式描述此类 Hessenberg 簇的上同调环的 $σ_n$-不变子环。

提出的方法

• 利用等变上同调的 GKM 表述分析 Hessenberg 簇的通常上同调环。
• 构造从多项式环 $π[X_1, \ldots, X_n]$ 到上同调环 $H^*(X(h))$ 的环同态，将 $X_k$ 映射到类 $\check{x}_k$。
• 利用来自 GKM 关系和 Hessenberg 簇结构的关系，确定该同态的核。
• 通过比较 Hilbert 系数并利用上同调环的无挠性，证明诱导映射是同构。
• 利用上同调上的 $σ_n$-作用描述不变子环，使用对称多项式和关系式 $\check{x}_1 \prod_{\ell=2}^{h(1)} (\check{x}_1 - \check{x}_\ell) = 0$。
• 将所得表述与 $ϵ$-系数下正则幂零 Hessenberg 簇上同调的已知结果进行比较，表明与现有理想相容。

实验结果

研究问题

• RQ1 在类型 $A_{n-1}$ 中，具有 Hessenberg 函数 $h = (h(1), n, \ldots, n)$ 的正则半单 Hessenberg 簇的上同调环的显式表述是什么？
• RQ2 上同调环结构如何与上同调上的 $σ_n$-表示相关联？是否与 Tymoczko 的构造相容？
• RQ3 能否通过对称多项式和附加关系式，显式描述该 Hessenberg 簇上同调环的 $σ_n$-不变子环？
• RQ4 该环表述是否自然退化为 Borel 对旗流形上同调的表述？
• RQ5 该 $σ_n$-不变子环的表述是否与已知的正则幂零 Hessenberg 簇在 $\mathbb{Q}$-系数下的上同调环表述相容？

主要发现

• 当 $h = (h(1), n, \ldots, n)$ 时，上同调环 $H^*(X(h))$ 同构于 $\mathbb{Z}[X_1, \ldots, X_n] / (e_i(X_1, \ldots, X_n), X_1 \prod_{\ell=2}^{h(1)} (X_1 - X_\ell) \mid 1 \leq i \leq n)$，其中 $e_i$ 为第 $i$ 个初等对称多项式。
• 当 $h(1) = n$ 时，该环表述自然退化为旗流形上同调环的 Borel 表述，通过初等对称多项式恢复标准表述。
• $σ_n$-不变子环 $H^*(X(h))^{σ_n}$ 同构于 $\mathbb{Z}[X_1, \ldots, X_n] / (e_i(X_1, \ldots, X_n), X_1 \prod_{\ell=2}^{h(1)} (X_1 - X_\ell) \mid 1 \leq i \leq n)$，确认与 $σ_n$-作用相容。
• $H^*(X(h))^{σ_n}$ 的 Hilbert 系数为 $\frac{1 - q^{h(1)}}{1 - q} \prod_{j=1}^{n-1} \frac{1 - q^j}{1 - q}$，与不变子环的预期 Poincaré 系数一致。
• $σ_n$-不变子环的表述与已知的正则幂零 Hessenberg 簇在 $\mathbb{Q}$-系数下的上同调环表述相容，因为两者在 $\mathbb{Q}[X_1, \ldots, X_n]$ 中的理想相等。
• 从 $\mathbb{Z}[X_1, \ldots, X_n]$ 到 $H^*(X(h))^{σ_n}$ 的映射是同构，通过 Hilbert 系数比较及上同调环的无挠性证明。