[论文解读] The commuting local Hamiltonian on locally-expanding graphs is in NP

Dorit Aharonov, Lior Eldar|arXiv (Cornell University)|Nov 28, 2013

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 36被引用 6

一句话总结

该论文表明，在局部膨胀图上，当近似基态能量的加法误差为 O(ε) 时，其中 ε 衡量图与最优局部膨胀的偏离程度，可满足交换局部哈密顿量（CLH）问题属于 NP。该结果依赖于一种改进的 Dinur 风格的间隙放大与字母表约简，证明强局部膨胀会抑制量子困难性，使问题退化为经典 NP 完全性，同时保持 NP 难度。

ABSTRACT

The local Hamiltonian problem is famously complete for the class QMA, the quantum analogue of NP. The complexity of its semi-classical version, in which the terms of the Hamiltonian are required to commute (the CLH problem), has attracted considerable attention recently due to its intriguing nature, as well as in relation to growing interest in the qPCP conjecture. We show here that if the underlying bipartite interaction graph of the CLH instance is a good locally-expanding graph, namely, the expansion of any constant-size set is e-close to optimal, then approximating its ground energy to within additive factor O(e) lies in NP. The proof holds for k- local Hamiltonians for any constant k and any constant dimensionality of particles d. We also show that the approximation problem of CLH on such good local expanders is NP-hard. This implies that too good local expansion of the interaction graph constitutes an obstacle against quantum hardness of the approximation problem, though it retains its classical hardness. The result highlights new difficulties in trying to mimic classical proofs (in particular Dinur's PCP proof) in an attempt to prove the quantum PCP conjecture. A related result was discovered recently independently by Brandao and Harrow, for 2-local general Hamiltonians, bounding the quantum hardness of the approximation problem on good expanders, though no NP-hardness is known in that case.

研究动机与目标

• 澄清交换局部哈密顿量（CLH）问题的复杂性，特别是其与量子 PCP 猜想的关系。
• 研究 CLH 实例的相互作用图中强局部膨胀是否能抑制量子计算困难性。
• 确定在该类膨胀条件下，CLH 问题是否仍为困难或变为可解的 NP 问题。
• 建立图的膨胀性质与哈密顿量近似问题在经典与量子复杂性之间关系的联系。

提出的方法

• 将 Dinur 的 PCP 证明技术适配，以构造一个间隙放大的 3 局部约束满足问题（CSP），其承诺间隙下界为常数 C₀。
• 使用长码编码与一致性约束，在保持承诺间隙的同时减小字母表大小，应用改进版的 Dinur 长码测试。
• 从该 CSP 构造一个 3 局部哈密顿量，使得相互作用图的局部膨胀度与最优值相差 ε，通过使用二重指数级字母表大小来控制膨胀误差。
• 证明任意常数大小集合的膨胀误差被限制在 O(1/L) 以内，其中 L 为字母表大小，并通过适当选择参数使该误差小于 ε。
• 通过构造经典见证（利用常数深度量子线路）证明所得 CLH 实例属于 NP。
• 在这些膨胀图上证明近似问题的 NP 难度，从而确立其在 NP 中的完备性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在交换局部哈密顿量实例的相互作用图中，强局部膨胀是否能将其量子复杂性降低至 NP？
• RQ2 Dinur 的 PCP 技术能否被适配到量子设置中，以证明在膨胀图上的 CLH 属于 NP？
• RQ3 局部膨胀与 CLH 问题中量子困难性的抑制之间存在何种关系？
• RQ4 在局部膨胀图上，CLH 的近似问题是否同时属于 NP 且为 NP 难，从而意味着 NP 完全性？
• RQ5 字母表大小与长码构造的选择如何影响所得哈密顿量中的局部膨胀误差？

主要发现

• 在局部膨胀度为 ε 的局部膨胀图上，交换局部哈密顿量问题在 O(ε) 近似误差下属于 NP。
• 在这些图上，近似问题仍为 NP 难，表明在该类膨胀条件下问题为 NP 完全。
• 该证明使用了改进的 Dinur 风格间隙放大与字母表约简，采用二重指数级字母表大小以控制膨胀误差。
• 任意常数大小集合的膨胀误差被限制在 O(1/L) 以内，通过适当选择参数可使其小于 ε。
• 结果表明，过强的局部膨胀会成为量子困难性的障碍，尽管经典困难性依然存在。
• Brandão 与 Harrow 独立地得出了一个相关结果，适用于 2 局部哈密顿量，但该情况下尚无已知的 NP 难度。