[论文解读] The comprehension construction

Emily Riehl, Dominic Verity|arXiv (Cornell University)|Jun 30, 2017

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用 6

一句话总结

本文引入了理解构造（comprehension construction），即Lurie的unstraightening在∞-范畴论中的∞-范畴类比，该构造将从∞-范畴A到B的函子映射为沿这些函子的cocartesian纤维丛的拉回。它证明了Yoneda嵌入是此构造的特例，并通过一个准范畴与一个Kan复形 enriched 范畴的同伦一致神经网络之间的显式等价性，证明了其全忠实性。

ABSTRACT

In this paper we construct an analogue of Lurie's "unstraightening" construction that we refer to as the "comprehension construction". Its input is a cocartesian fibration $p \colon E o B$ between $\infty$-categories together with a third $\infty$-category $A$. The comprehension construction then defines a map from the quasi-category of functors from $A$ to $B$ to the large quasi-category of cocartesian fibrations over $A$ that acts on $f \colon A o B$ by forming the pullback of $p$ along $f$. To illustrate the versatility of this construction, we define the covariant and contravariant Yoneda embeddings as special cases of the comprehension functor. We then prove that the hom-wise action of the comprehension functor coincides with an "external action" of the hom-spaces of $B$ on the fibres of $p$ and use this to prove that the Yoneda embedding is fully faithful, providing an explicit equivalence between a quasi-category and the homotopy coherent nerve of a Kan-complex enriched category.

研究动机与目标

• 在∞-宇宙中发展一种合成的、公理化的∞-范畴论框架，独立于特定模型（如准范畴）。
• 通过一种新构造——理解构造，将Lurie的unstraightening构造推广到更广泛的设定中。
• 表明协变和逆变Yoneda嵌入是此理解函子的特例。
• 通过展示一个准范畴与一个Kan复形 enriched 范畴的同伦一致神经网络之间的显式逆等价性，证明Yoneda嵌入是全忠实的。
• 确立理解构造在同伦空间上的作用与B中同伦空间Hom_B(a,b)对cocartesian纤维丛纤维的外部作用之间的对应关系。

提出的方法

• 理解构造被定义为从函子范畴Fun(A, B)到A上cocartesian纤维丛范畴的函子，通过沿每个函子f: A → B拉回一个固定的cocartesian纤维丛p: E ↠ B而获得。
• 该构造依赖于∞-宇宙理论，其为∞-范畴论提供了一种合成框架，抽象掉了诸如准范畴和完全Segal空间等具体模型。
• 同伦一致神经网络与同伦一致实现被用于建模高阶范畴结构，并在∞-宇宙中计算函数复形。
• 通过拉回图和函数复形计算，证明了理解构造在同伦空间上的作用与B中Hom_B(a,b)对p在b处的纤维的外部作用一致。
• 全忠实性的证明通过使用理解构造和cocartesian纤维丛的普遍性质，构建一个显式的逆等价性来完成。
• 本文使用∞-宇宙的同伦2范畴，以同伦上有意义的方式形式化2-范畴构造，如伴随关系和极限。

实验结果

研究问题

• RQ1 Lurie的unstraightening构造如何能在∞-范畴论中被推广到一种合成的、与模型无关的框架？
• RQ2 Yoneda嵌入能否作为cocartesian纤维丛背景下更一般构造的特例被导出？
• RQ3 理解构造在同伦空间上的作用与B中Hom_B(a,b)对cocartesian纤维丛纤维的外部作用之间的精确关系是什么？
• RQ4 理解构造与同伦一致神经网络及Kan复形 enriched 范畴的神经网络之间有何关系？
• RQ5 在∞-宇宙的背景下，理解构造满足何种普遍性质？

主要发现

• 理解构造提供了一个从Fun(A, B)到A上cocartesian纤维丛∞-范畴的函子，通过沿每个函子f: A → B的拉回而定义。
• 证明了Yoneda嵌入是理解构造的特例，具体而言，当应用于B上的恒等函子时即得。
• 理解构造在同伦空间上的作用与Hom_B(a,b)对p在b处的纤维的外部作用等价，该等价性通过拉回图和函数复形同构性得以证明。
• Yoneda嵌入是全忠实的，其显式逆等价性在准范畴B与B上可表示的cartesian纤维丛全子范畴的同伦一致神经网络之间构造完成。
• 全忠实性的证明依赖于证明映射(7.2.13)是等价的，其逆由函子(7.2.12)给出，从而建立了函数复形的典范识别。
• 该构造表明，B上可表示的cartesian纤维丛全子范畴的同伦一致神经网络与B本身等价，从而在 enriched 范畴的术语中，为准范畴提供了与模型无关的表征。