[论文解读] The Coxeter element and the branching law for the finite subgroups of SU(2)

Bertram Kostant|ArXiv.org|Nov 7, 2004

Advanced Algebra and Geometry被引用 6

一句话总结

本文通过将有限子群 $ \widetilde{\rho} $ 上的 $ \mathrm{SU}(2) $ 的不可约表示的重数级数 $ m(t)_i $ 表示为有理函数 $ \frac{z(t)_i}{(1-t^a)(1-t^b)} $，其中 $ z(t)_i $ 是由 Coxeter 元素作用下的 $ \sigma $-轨道与 Heisenberg 子系统 $ \Phi \subset \Delta_+ $ 的交集所确定的多项式，从而为 $ \mathrm{SU}(2) $ 的有限子群提供了分支律的完整解法。关键结果是定理 1.13，它以轨道结构和根系数据的形式给出了 $ z(t)_i $ 的显式公式，其中 $ z(t)_i $ 的系数为 0 或 1，且 $ z(1)_i = 2d_i $。

ABSTRACT

Let $Γ$ be a finite subgroup of SU(2) and let $\widetilde Γ = \{γ_i\mid i\in J\}$ be the unitary dual of $Γ$. The unitary dual of SU(2) may be written $\{π_n\mid n\in \Bbb Z_+\}$ where $dim π_n = n+1$. For $n\in \Bbb Z_+$ and $j\in J$ let $m_{n,j}$ be the multiplicity of $γ_j$ in $π_n|Γ$. Then we collect this branching data in the formal power series, $m(t)_j = \sum_{n=0}^{\infty}m_{n,j} t^n$. One shows that there exists a polynomial $z(t)_j$ and known positive integers $a,b$ (independent of $j$) such that $m(t)_j = {z(t)_j \over (1-t^a)(1-t^b)}$. The problem is the determination of the polynomial $z(t)_j$. If $o\in J$ is such that $γ_o$ is the trivial representation, then it is classical that $z(t)_o = 1 +t^h$ for a known integer $h$. The problem reduces to case where $γ_j$ is nontrivial. The McKay correspondence associates to $Γ$ a complex simple Lie algebra $\g$ of type A-D-E. We explicitly determine $z(t)_j$ for $j\in J-\{o\}$ using the orbits of a Coxeter element on the set of roots of $\frak{g}$. Mysteriously the polynomial $z(t)_j$ has arisen in a completely different context in some papers of Lusztig. Also Rossmann has recently shown that the polynomial $z(t)_j$ yields the character of $γ_j$.

研究动机与目标

• 解决 $ \mathrm{SU}(2) $ 的不可约表示限制到有限子群 $ \Gamma \subset \mathrm{SU}(2) $ 时的分解问题，特别是 $ \gamma_i \in \widehat{\Gamma} $ 在 $ \pi_n|\Gamma $ 中的重数 $ m_{n,i} $。
• 解决所有 $ i \in I_{\text{ext}} $ 的生成级数 $ m(t)_i = \sum_{n=0}^\infty m_{n,i} t^n $ 的计算问题，特别关注非平凡的 $ i \in I $。
• 为有理表达式 $ m(t)_i = \frac{z(t)_i}{(1-t^a)(1-t^b)} $ 中的多项式 $ z(t)_i $ 提供简化且显式的公式化表述，此前该公式在前期工作中是隐含的。
• 阐明 Coxeter 元素 $ \sigma $ 在组织根系和通过轨道结构将表示理论与李理论数据联系起来方面的作用。
• 建立 Heisenberg 子系统 $ \Phi \subset \Delta_+ $ 与 $ z(t)_i $ 系数之间的直接联系，特别是针对特殊节点 $ i_* $。

提出的方法

• 利用 McKay 对应关系，将每个有限子群 $ \Gamma \subset \mathrm{SU}(2) $ 关联到一个 $ A $、$ D $ 或 $ E $ 型的复单李代数 $ \mathfrak{g} $，其中 $ \widehat{\Gamma} $ 的索引由扩展 Dynkin 图的节点给出。
• 将 Coxeter 元素 $ \sigma $ 定义为作用在根系 $ \Delta $ 上的循环群的生成元，其 $ \sigma $-轨道长度为 $ h $，即 Coxeter 数。
• 识别 Heisenberg 子系统 $ \Phi = \{ \varphi \in \Delta_+ \mid (\psi, \varphi) > 0 \} $，其中 $ \psi $ 为最高根，且 $ \text{card}(\Phi) = 2h - 3 $，该子系统在构造中起核心作用。
• 将多项式 $ z(t)_i $ 构造为和式 $ \sum_{\varphi \in \Phi^i} t^{n(\varphi)} $，其中 $ \Phi^i = \Phi \cap (Z \cdot \beta_i)_+ $，且 $ n(\varphi) $ 为满足 $ \sigma^{n(\varphi)/2} $ 或 $ \sigma^{(n(\varphi)-1)/2} $ 将 $ \varphi $ 映射到 $ \beta_i $ 的最小正整数，具体取决于奇偶性。
• 利用轨道分解 $ \Delta_+ = \sqcup_{i \in I} (Z \cdot \beta_i)_+ $ 及 $ (Z \cdot \beta_i)_+ $ 与集合 $ \{0,1,\dots,g-1\} $ 或 $ \{1,\dots,g\} $ 之间的双射关系，对 $ n(\varphi) $ 进行参数化。
• 应用恒等式 $ \sigma^g = \kappa $（Weyl 群的长元素）以分析对称性，并确定在 $ i_* $ 处的特殊行为，特别是 $ z(t)_{i_*} $ 中 $ t^g $ 项的系数为 2。

实验结果

研究问题

• RQ1 在生成函数 $ m(t)_i = \frac{z(t)_i}{(1-t^a)(1-t^b)} $ 中，$ \gamma_i $ 在 $ \pi_n|\Gamma $ 中的重数的多项式 $ z(t)_i $ 的显式形式是什么？
• RQ2 Coxeter 元素 $ \sigma $ 在根系 $ \Delta $ 上的轨道如何决定 $ z(t)_i $ 的系数？
• RQ3 由 $ (\psi, \varphi) > 0 $ 定义的 Heisenberg 子系统 $ \Phi \subset \Delta_+ $ 在 $ z(t)_i $ 的构造中起什么作用？
• RQ4 为何 $ z(t)_{i_*} $ 中 $ t^g $ 的系数为 2，而其他所有系数均为 0 或 1？这与李代数 $ \mathfrak{g} $ 的结构有何关联？
• RQ5 特殊节点 $ i_* $（在 $ D/E $ 中为分支点，在 $ A $ 中为中点）如何影响 $ z(t)_{i_*} $ 的形式？

主要发现

• 重数的生成函数为 $ m(t)_i = \frac{z(t)_i}{(1-t^a)(1-t^b)} $，其中 $ a = 2d_{i_*} $，$ b $ 满足 $ ab = 4|F| $，且 $ z(t)_i $ 为次数小于 $ h $ 的多项式。
• 当 $ i \neq i_* $ 时，多项式 $ z(t)_i = \sum_{\varphi \in \Phi^i} t^{n(\varphi)} $，其中 $ \Phi^i = \Phi \cap (Z \cdot \beta_i)_+ $，所有系数为 0 或 1，因此 $ z(1)_i = 2d_i $。
• 当 $ i = i_* $ 时，$ z(t)_{i_*} = 2t^g + \sum_{\varphi \in \Phi^{i_*}, \varphi \neq \psi} t^{n(\varphi)} $，其中 $ t^g $ 的系数为 2，其余系数为 0 或 1，且 $ z(1)_{i_*} = 2d_{i_*} = a $。
• $ \Phi^i $ 的集合大小为 $ 2d_i $，即 $ \text{card}(\Phi^i) = 2d_i $，这证实了表示理论与根系几何之间存在深刻联系。
• $ z(t)_{i_*} $ 关于 $ t^g $ 对称，形式为 $ z(t)_{i_*} = t^{g-a+2} + \cdots + 2t^g + \cdots + t^{g+a-2} $，反映了在 $ \sigma^g = \kappa $ 作用下系统的自对偶性。
• Coxeter 元素 $ \sigma $ 在 $ \Delta $ 上的轨道结构，特别是分解式 $ \Delta_+ = \sqcup_{i \in I} (Z \cdot \beta_i)_+ $，确保了 $ n(\varphi) $ 的良好定义性，且 $ z(t)_i $ 完全由 $ \sigma $-轨道与 $ \Phi $ 的交集决定。