[论文解读] The Cup Product on Hochschild Cohomology for Localizations of Filtered Koszul Algebras
本文构建了一个小的微分分次（dg）代数，用于计算滤子Koszul代数的Hochschild上同调上的$A_\infty$结构——特别是上积。此外，还表明此类代数的Ore局部化之Hochschild上同调通过该dg代数的局部化获得，从而实现显式计算，如对Heisenberg李代数的普遍包络代数所展示的那样。
To any filtered algebra $A$ with Koszul associated graded algebra we associate a small dg algebra which calculates the $A_\infty$ structure on the Hochschild cohomology of $A$. In particular, it calculates the cup product on Hochschild cohomology. This dg algebra is, as an algebra, simply the tensor product of $A$ and the Koszul dual of its associated graded algebra. We then show that the Hochschild cohomology algebra of any Ore localization of $A$ can be calculated by a localization of the dg algebra associated to $A$. As an application we directly calculate the Hochschild cohomology algebra of the universal enveloping algebra of the Heisenberg Lie algebra.
研究动机与目标
- 开发一个可计算的dg代数模型，以捕捉滤子Koszul代数的Hochschild上同调上的$A_\infty$结构。
- 提供一种系统方法，利用该dg代数构造计算Hochschild上同调中的上积。
- 通过所构造dg代数的局部化，将计算扩展至此类代数的Ore局部化。
- 将该框架应用于计算Heisenberg李代数的普遍包络代数的完整Hochschild上同调代数。
提出的方法
- 将滤子代数$A$与它的关联分次代数的Koszul对偶的张量积构造为dg代数。
- 为该张量积配备一个微分，以编码Hochschild上同调上的$A_\infty$结构。
- 利用所得dg代数，通过dg代数上同调中的标准上积计算Hochschild上同调中的上积。
- 证明对于任意Ore局部化$S^{-1}A$，Hochschild上同调代数同构于所构造dg代数的局部化版本的上同调。
- 利用该dg代数构造在滤子与Koszul设定下与局部化函子的相容性。
- 将该框架应用于Heisenberg李代数的普遍包络代数，显式计算其Hochschild上同调代数。
实验结果
研究问题
- RQ1如何计算滤子Koszul代数的Hochschild上同调上的$A_\infty$结构，特别是上积？
- RQ2滤子Koszul代数的Hochschild上同调与其Ore局部化的Hochschild上同调之间有何关系？
- RQ3能否构造一个小型、可计算的dg代数模型，以计算Hochschild上同调上的上积结构？
- RQ4该dg代数模型在局部化下如何表现？能否将其局部化以计算局部化代数的上同调？
- RQ5Heisenberg李代数的普遍包络代数的显式Hochschild上同调代数是什么？
主要发现
- 任何滤子Koszul代数的Ore局部化的Hochschild上同调代数同构于所构造dg代数的局部化版本的上同调。
- Hochschild上同调上的上积通过dg代数上同调中的标准上积计算，该dg代数构造为$A$与它的关联分次代数的Koszul对偶的张量积。
- 该dg代数模型是小而可计算的，使得在标准方法失效的情况下仍能进行显式计算。
- 该构造与局部化相容，从而可将上同调数据从$A$传递至$S^{-1}A$。
- 该方法可显式计算Heisenberg李代数的普遍包络代数的Hochschild上同调代数。
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