[论文解读] The de Rham-Fargues-Fontaine cohomology

Arthur-César Le Bras, Alberto Vezzani|arXiv (Cornell University)|May 27, 2021

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 17被引用 1

一句话总结

本文引入了 de Rham-Fargues-Fontaine 上同调，一种在正特征下对完美oid空间上的刚性解析概形的新函子性上同调理论。通过将相对过收敛 de Rham 上同调与沿相对 Fargues-Fontaine 曲线的动机拉回相结合，作者构造了一个实心拟相干层复形，其上同调在概形光滑且完备或基为完美oid域时是一个具有向量丛上同调层的完美复形——从而证明了 Scholze 的一个猜想。

ABSTRACT

We show how to attach to any rigid analytic variety $V$ over a perfectoid space $P$ a rigid analytic motive over the Fargues-Fontaine curve $\mathcal{X}(P)$ functorially in $V$ and $P$. We combine this construction with the overconvergent relative de Rham cohomology to produce a complex of solid quasi-coherent sheaves over $\mathcal{X}(P)$, and we show that its cohomology groups are vector bundles if $V$ is smooth and proper over $P$ or if $V$ is quasi-compact and $P$ is a perfectoid field, thus proving and generalizing a conjecture of Scholze. The main ingredients of the proofs are explicit $\mathbb{B}^1$-homotopies, the motivic proper base change and the formalism of solid quasi-coherent sheaves.

研究动机与目标

• 为特征零的 adic 空间上的刚性解析概形定义一种相对过收敛 de Rham 上同调理论。
• 从完美oid空间 P 上的刚性解析动机到相对 Fargues-Fontaine 曲线 X(P) 上的动机构造一个动机拉回函子。
• 证明该拉回与 de Rham 上同调的复合在概形光滑且完备或基为紧致时，产生一个具有向量丛上同调层的完美复形。
• 推广并证明 Scholze 在 Fargues-Fontaine 设置下关于上同调有限性的猜想。
• 通过 de Rham-Fargues-Fontaine 函子建立刚性上同调的全局实现，且与动机六函子形式系统相容。

提出的方法

• 使用刚性解析动机的六函子形式系统以确保函子性、étale 下降性与 B1-不变性。
• 应用动机连续性与显式刚性同伦，将问题约化至 Tate 代数与完美oid域。
• 利用 Fargues-Fontaine 曲线上 Frobenius 黏合数据，构造从 RigDA(P) 到 RigDA(X(P)) 的张量函子 D。
• 将 de Rham-Fargues-Fontaine 上同调定义为复合 dRFF_P = dRX(P) ∘ D，其取值于 X(P) 上的实心拟相干层。
• 借助实心拟相干层的形式系统与 QCoh(S) 中对偶对象的刻画，证明有限性。
• 利用动机 tilting 等价关系 RigDA(C) ≅ RigDA(C♯)，将完美oid域及其 untilt 上的上同调联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为特征零的 adic 空间上的刚性解析概形定义一种具有函子性与 B1-不变性的相对过收敛 de Rham 上同调理论？
• RQ2 如何将动机上同调从完美oid空间 P 扩展到正特征下的相对 Fargues-Fontaine 曲线 X(P)？
• RQ3 该拉回与 de Rham 上同调的复合是否对 P 上光滑完备概形的动机产生一个具有向量丛上同调层的完美复形？
• RQ4 在良好减少情形下，该上同调理论是否与刚性上同调及晶体上同调相容？
• RQ5 能否通过动机与同伦方法证明 Scholze 关于 Fargues-Fontaine 曲线上同调有限性的猜想？

主要发现

• 当 M 是 P 上光滑完备概形的动机时，de Rham-Fargues-Fontaine 上同调 dRFF_P(M) 是 O_X(P)-模的完美复形，其上同调层为向量丛。
• 当 P 为完美oid域时，对任意紧致动机 M，dRFF_P(M) 是具有向量丛上同调层的完美复形。
• 该构造满足 étale 下降性、B1-不变性与 K"unneth 公式，确认了其动机本质。
• 对任意 P 的 untilt P♯，沿 P♯ → X(P) 拉回的 dRFF_P(M) 同构于 tilting 动机 M♯ 的过收敛 de Rham 上同调。
• 函子 RigFF_A 自然同构于刚性上同调，通过复合 EA ∘ RΓrig_A 实现，表明该构造在完美oid仿射概形的极限下实现了刚性上同调。
• 该理论为完美 Fp-代数 A 上的 Spa(A) 提供了刚性上同调的全局几何实现，即使 X(Spa(A)) 作为空间不存在，亦成立。