[论文解读] The distribution of $H_{8}$-extensions of quadratic fields

Brandon Alberts, Jack Klys|arXiv (Cornell University)|Nov 17, 2016

Coding theory and cryptography参考文献 6被引用 3

一句话总结

本文计算了在无穷远处无分支的二次域上无分歧 $H_8$-扩张的归一化计数函数的矩，证明其收敛于一个点质量分布。文中引入归一化因子 $g(d) = 3^{ au(d)}$，并证明归一化计数 $f(d)/g(d)$ 的 $k$ 阶矩在虚二次情形收敛于 $ (1/32)^k $，在实二次情形收敛于 $ (1/192)^k $，从而确立了二次域上 $H_8$-伽罗瓦群的点质量分布。

ABSTRACT

We compute all the moments of a normalization of the function which counts unramified $H_{8}$-extensions of quadratic fields, where $H_{8}$ is the quaternion group of order 8, and show that the values of this function determine a constant distribution. Furthermore we propose a similar modification to the non-abelian Cohen-Lenstra heuristics for unramified G-extensions of quadratic fields for G in a large class of 2-groups, which we conjecture will give finite moments which determine a distribution. Our method additionally can be used to determine the asymptotics of the unnormalized counting function, which we also do for unramified $H_{8}$-extensions.

研究动机与目标

• 理解二次域上 $H_8$-扩张的分布，特别是处处无分歧的扩张，包括在无穷远处的无分歧性。
• 通过提出一种归一化方法，对非交换 Cohen-Lenstra 算法进行改进，使得对属于大类 2-群的 $G$-扩张，其在二次域上的矩为有限值。
• 证明归一化计数函数 $f(d)/g(d)$，其中 $g(d) = 3^{\tau(d)}$，在 $\mathbb{R}$ 上确定一个点质量分布，意味着 $H_8^m$-扩张的密度为零。
• 推广 $H_8^k \rtimes_{\sigma} C_2$-扩张的未归一化渐近公式，扩展了 Alberts 的先前结果。

提出的方法

• 引入归一化因子 $g(d) = 3^{\tau(d)}$ 以稳定计数函数 $f(d)$，该函数统计具有奇判别式 $d$ 的处处无分歧的 $H_8$-扩张。
• 应用类域论与伽罗瓦理论技术，将处处无分歧的 $H_8$-扩张与从最大无分歧扩张的伽罗瓦群到 $H_8$ 的满射联系起来，通过 $G' = H_8 \rtimes C_2$ 提升。
• 使用 $\mathbb{F}_2$-向量空间上的特征和与高斯和，计算归一化函数的矩，特别关注编码链接条件的矩阵 $M_k$ 的核。
• 利用 $H_8$-扩张的 $k$ 重积的递归结构，通过 $\sum_{d \in \mathcal{D}_X^\pm} |\text{Sur}_\sigma(\mathrm{Gal}(K^{un}/K), H_8^k)|$ 建模计数函数。
• 应用莫比乌斯反演与乘法数论函数，处理平方自由条件及渐近展开中的误差项。
• 利用最大无链接集合 $\mathcal{U}$ 及其关联的二次型 $\Phi(u,v)$ 的结构，计算配置总和，将其约化为 $\ker M_k$ 的陪集上的求和。

实验结果

研究问题

• RQ1 当计数函数通过 $3^{\tau(d)}$ 归一化时，二次域上 $H_8$-扩张的分布是什么？
• RQ2 归一化计数函数 $f(d)/g(d)$ 的 $k$ 阶矩是否收敛于有限极限？若是，其极限分布为何？
• RQ3 能否通过归一化改进非交换 Cohen-Lenstra 算法，使得对属于大类 2-群的 $G$-扩张，其在二次域上的矩为有限值？
• RQ4 具有无穷远处无分支的 $H_8^k \rtimes_{\sigma} C_2$-扩张在二次域上的未归一化数量的渐近增长率为多少？
• RQ5 归一化函数 $f(d)/g(d)$ 是否在极限下集中于单一值，从而意味着 $H_8^m$-扩张的密度为零？

主要发现

• 在虚二次情形下，归一化函数 $f(d)/g(d)$ 的 $k$ 阶矩收敛于 $ (1/32)^k $，确立了在 $1/32$ 处的点质量分布。
• 在实二次情形下，$k$ 阶矩收敛于 $ (1/192)^k $，确立了在 $1/192$ 处的点质量分布。
• 归一化函数 $f(d)/g(d)$ 在 $\mathbb{R}$ 上确定一个点质量分布，意味着 $f(d)/g(d)$ 的经验测度弱收敛于 $1/32$ 或 $1/192$ 处的狄拉克测度。
• 未归一化 $H_8^k \rtimes_{\sigma} C_2$-扩张的计数函数满足渐近公式：$ \sum_{d \in \mathcal{D}_X^-} |\text{Sur}_\sigma| = (1/4)^k \sum_{d \in \mathcal{D}_X^-} 3^{k\tau(d)} + O(X (\log X)^{3^k - 2 + \epsilon}) $。
• 在虚情形下，该渐近公式同样成立，仅常数因子有所调整，且通过特征和估计与莫比乌斯反演控制误差项。
• 推论 4 确认，对于任意 $m \geq 1$，满足 $\mathrm{Gal}(K^{un}/K) \cong H_8^m$ 的二次域 $K$ 的密度为零，这是由于归一化计数的点质量分布所致。