[论文解读] The double ramification cycle and the theta divisor

Samuel Grushevsky, Dmitry Zakharov|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 9被引用 8

一句话总结

本文通过测试曲线和 theta 除子几何，计算了带标记点的曲线模空间的 Deligne-Mumford 紧化空间上，度数为 0 和 g−1 的通用 theta 除子类，重新证明并扩展了 Hain 和 Müller 在 Chow 环中关于双 ramification 循环和 theta 除子类的结果，提供了一种适用于整个紧化空间的直接几何方法。

ABSTRACT

We compute the classes of universal theta divisors of degrees zero and g-1 over the Deligne-Mumford compactification of the moduli space of curves, with various integer weights on the points, in particular reproving a recent result of Müller. We also obtain a formula for the class in the Chow ring of the moduli space of curves of compact type of the double ramification locus, given by the condition that a fixed linear combination of the marked points is a principal divisor, reproving a recent result of Hain. Our approach for computing the theta divisor is more direct, via test curves and the geometry of the theta divisor, and works easily over the entire Deligne-Mumford compactification. We use our extended result in another paper to study the partial compactification of the double ramification cycle.

研究动机与目标

• 计算通用 theta 除子在度数 0 和 g−1 时，对 Deligne-Mumford 紧化空间 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ 的拉回类。
• 在 Chow 环 $CH^g(\mathcal{M}_{g,n}^{ct})$ 中，重新证明并扩展 Hain 和 Müller 关于双 ramification 循环的近期结果。
• 提供一种直接的几何方法，通过测试曲线计算 theta 除子类，该方法在整个紧化空间 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ 上有效。
• 通过 theta 除子的拉回，建立 $CH^g(\mathcal{M}_{g,n}^{ct})$ 中双 ramification 循环类的公式。
• 通过恒等式 $[z_g] = [T]^g / g!$ 在 Chow 环中阐明双 ramification 循环与通用 theta 除子之间的关系。

提出的方法

• 在 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ 中使用测试曲线，计算交点数并约束 theta 除子拉回类的类。
• 应用邻接公式，计算 theta 除子在测试曲线上限制的典范类，利用文献中已知的交点数。
• 利用粘合映射 $i: \mathcal{M}_{2,1}^{ct} \times \overline{\mathcal{M}}_{g-2,n+1} \to \overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ 提取关于类系数的额外约束。
• 利用 Chow 环中恒等式 $[z_g] = [T]^g / g!$ 将零截面类与 theta 除子类关联。
• 应用 Faber (1999) 的拉回公式，计算 theta 除子类在粘合子簇上的限制，特别关注 $\lambda_1$ 和 $\delta_1^\emptyset$。
• 利用在 $\mathcal{M}_{2,1}^{ct}$ 上有 $\lambda_1 = \delta_1^\emptyset / 5$ 的事实，提取 theta 除子类中 $\lambda_1$ 的系数。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于标记点上任意整数权重，通用度数 $g-1$ theta 除子对 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ 的拉回类是什么？
• RQ2 如何通过 theta 除子几何，直接计算 $CH^g(\mathcal{M}_{g,n}^{ct})$ 中双 ramification 循环类？
• RQ3 通用对称 theta 除子 $T$ 对 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ 的拉回类的精确公式是什么？它与零截面类有何关系？
• RQ4 能否通过涉及测试曲线和邻接公式的几何方法，而非正规函数或 Gromov–Witten 理论，重新推导双 ramification 循环类？
• RQ5 曲线紧类型模空间在 theta 除子类计算中起什么作用？它与通用雅可比簇的延拓有何关系？

主要发现

• 通用度数 $g-1$ theta 除子对 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ 的拉回类被显式计算，其系数包含 $K_i$、$\delta_0^P$ 和 $\delta_h^P$ 项。
• 通过与测试曲线的交点以及粘合映射，发现类 $[s_{\underline{d}}^* \Theta]$ 中 $\lambda_1$ 的系数为 $-1$，$\delta_{irr}$ 的系数为 $0$。
• 通过恒等式 $[z_g] = [T]^g / g!$ 重新证明了 $CH^g(\mathcal{M}_{g,n}^{ct})$ 中双 ramification 循环类，确认了 Hain 的结果。
• 零截面 $z_g$ 对 $\mathcal{M}_{g,n}^{ct}$ 的拉回被证明等于 $\frac{1}{g!} \left[ \frac{1}{2} \sum d_i^2 K_i - \frac{1}{2} \sum_P (d_P^2 - \sum_{i\in P} d_i^2) \delta_0^P - \frac{1}{2} \sum_{h>0,P} d_P^2 \delta_h^P \right]^g$，与 Hain 的公式一致。
• 通过邻接公式和典范丛公式，计算出 theta 除子类在子簇 $\mathcal{M}_{2,1}^{ct}$ 上的限制为 $-\lambda_1 + \psi$，从而确定了最后一个缺失的系数。
• 该方法提供了一种直接的、几何的替代方案，取代 Hain 的正规函数方法以及 Cavalieri–Marcus–Wise 的 Gromov–Witten 方法，适用于整个紧化空间 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$。