[论文解读] The Eichler cohomology theorem for Jacobi forms

Dohoon Choi, Subong Lim|arXiv (Cornell University)|Nov 13, 2012

Advanced Algebra and Geometry参考文献 22被引用 5

一句话总结

本文通过使用在 τ 和 z 上具有受控增长的全纯函数空间，为雅可比群定义了一个上同调群，将艾希勒上同调理论推广至雅可比形式。证明了任意实权重雅可比形式的艾希勒上同调同构定理，表明第一上同调群通过部分 L-函数的临界值同构于雅可比尖形式空间。

ABSTRACT

Let $Γ$ be a finitely generated Fuchsian group of the first kind which has at least one parabolic class. Eichler introduced a cohomology theory for Fuchsian groups, called as "Eichler cohomology theory", and established the $\CC$-linear isomorphism from the direct sum of two spaces of cusp forms on $Γ$ with the same integral weight to the Eichler cohomology group of $Γ$. After the results of Eichler, the Eichler cohomology theory was generalized in various ways. For example, these results were generalized by Knopp to the cases with arbitrary real weights. In this paper, we extend the Eichler cohomology theory to the context of Jacobi forms. We define the cohomology groups of Jacobi groups which are analogues of Eichler cohomology groups and prove an Eichler cohomology theorem for Jacobi forms of arbitrary real weights. Furthermore, we prove that every cocycle is parabolic and that for some special cases we have an isomorphism between the cohomology group and the space of Jacobi forms in terms of the critical values of partial $L$-functions of Jacobi cusp forms.

研究动机与目标

• 为了改进雅可比群的上同调理论，此前该理论产生的上同调群为无限维。
• 在雅可比形式的背景下，建立类似于艾希勒原始定理的上同调同构。
• 证明雅可比群的第一上同调群通过部分 L-函数的临界值同构于雅可比尖形式空间。
• 表明上同调群中的所有余胞都是抛物的，从而解决早期表述中的关键结构性问题。
• 将克诺普的实权重艾希勒上同调推广至雅可比情形，将理论从整数权重扩展至更一般情形。

提出的方法

• 通过在 τ 和 z 上具有受控增长的全纯函数空间 $\mathcal{P}^e_{\mathcal{M}}$，为雅可比群 $\Gamma^{(1,j)} = \Gamma \ltimes (\mathbb{Z}^{(j,1)})^2$ 定义一个上同调群。
• 引入权重 $k$、指标 $\mathcal{M}$ 和乘子系统 $\chi$-扭曲作用，通过斜算符 $|_{k,\mathcal{M},\chi}$ 和 $|_{\mathcal{M}}$ 作用于函数。
• 利用短正合列 $0 \to \mathcal{P}^e_{\mathcal{M}} \to \mathcal{P}_{\mathcal{M}} \to \mathcal{P}_{\mathcal{M}}/\mathcal{P}^e_{\mathcal{M}} \to 0$ 所关联的上同调长正合列，分析 $H^1$ 的结构。
• 证明 $H^1_{-k+j/2,\mathcal{M},\chi}(\Gamma^{(1,j)}, \mathcal{P}^e_{\mathcal{M}})$ 通过部分 $L$-函数的临界值同构于雅可比尖形式空间 $S_{k,\mathcal{M},\chi}(\Gamma^{(1,j)})$。
• 构造显式的非平凡余胞 $\{p^{n,r}_{(\gamma,X)}\}$ 在 $H^1_{-k+j/2,\mathcal{M},\chi}(\Gamma^{(1,j)}, \mathcal{P}_{\mathcal{M}})$ 中，以证明整个上同调群为无限维。
• 证明余胞 $p^{n,r}_{(0,\mathbf{e}_1)} = q^n e^{2\pi i \mathrm{tr}(rz)}$ 不是上边界，从而证明其线性无关性与无限维性。

实验结果

研究问题

• RQ1 艾希勒上同调理论能否推广至具有任意实权重的雅可比形式？
• RQ2 是否存在一个雅可比群的上同调群，使其同构于雅可比尖形式空间？
• RQ3 为何先前工作中（如 [3]）定义的上同调群为无限维？如何对其进行改进以获得有限维上同调？
• RQ4 部分 $L$-函数的临界值在上同调类与雅可比形式之间关系中起什么作用？
• RQ5 上同调群中的所有余胞是否都是抛物的？这如何影响上同调空间的结构？

主要发现

• 第一上同调群 $H^1_{-k+j/2,\mathcal{M},\chi}(\Gamma^{(1,j)}, \mathcal{P}^e_{\mathcal{M}})$ 通过部分 $L$-函数的临界值同构于雅可比尖形式空间 $S_{k,\mathcal{M},\chi}(\Gamma^{(1,j)})$。
• 上同调群 $H^1_{-k+j/2,\mathcal{M},\chi}(\Gamma^{(1,j)}, \mathcal{P}_{\mathcal{M}})$ 为无限维，通过构造 uncountably many 线性无关余胞 $\{p^{n,r}_{(\gamma,X)}\}$（其中 $n>0$ 且 $r_1 \notin \mathbb{Z}$）得以证明。
• 余胞 $p^{n,r}_{(0,\mathbf{e}_1)} = q^n e^{2\pi i \mathrm{tr}(rz)}$ 不是上边界，这表明存在非平凡的上同调类。
• 从 $H^1_{-k+j/2,\mathcal{M},\chi}(\Gamma^{(1,j)}, \mathcal{P}^e_{\mathcal{M}})$ 到 $H^1_{-k+j/2,\mathcal{M},\chi}(\Gamma^{(1,j)}, \mathcal{P}_{\mathcal{M}})$ 的映射是单射，表明精炼后的上同调群严格小于原始群。
• 所有余胞在 $H^1_{-k+j/2,\mathcal{M},\chi}(\Gamma^{(1,j)}, \mathcal{P}^e_{\mathcal{M}})$ 中均为抛物的，确认了类似于艾希勒原始定理的结构性质。
• 上同调群 $H^1_{-k+j/2,\mathcal{M},\chi}(\Gamma^{(1,j)}, \mathcal{P}_{\mathcal{M}})$ 严格大于 $H^1_{-k+j/2,\mathcal{M},\chi}(\Gamma^{(1,j)}, \mathcal{P}^e_{\mathcal{M}})$，证实了精炼定义对于恢复有限维性是必要的。