[论文解读] The enhanced quotient graph of the quotient of a finite group

Luis A. Dupont, Daniel G. Mendoza+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 4, 2017

Finite Group Theory Research参考文献 6被引用 3

一句话总结

本文引入并表征了有限群 $G$ 模其正规子群 $H$ 的增强商图 $Γ_H(G)$，通过陪集关系定义图结构，并基于循环子群生成确定邻接关系。主要贡献在于证明：$Γ_H(G)$ 是完全图当且仅当 $G/H$ 是循环群，且为欧拉图当且仅当 $|G/H|$ 为奇数，其结构与增强幂图 $Γ(G/H)$ 具有强烈的相似性，包括团结构与平面性条件。

ABSTRACT

For a finite group $G$ with a normal subgroup $H$, the enhanced quotient graph of $G/H$, denoted by $\mathcal{G}_{H}(G),$ is the graph with vertex set $V=(G\backslash H)\cup \{e\}$ and two vertices $x$ and $y$ are edge connected if $xH = yH$ or $xH,yH\in \langle zH angle$ for some $z\in G$. In this article, we characterize the enhanced quotient graph of $G/H$. The graph $\mathcal{G}_{H}(G)$ is complete if and only if $G/H$ is cyclic, and $\mathcal{G}_{H}(G)$ is Eulerian if and only if $|G/H|$ is odd. We show some relation between the graph $\mathcal{G}_{H}(G)$ and the enhanced power graph $\mathcal{G}(G/H)$ that was introduced by Sudip Bera and A.K. Bhuniya (2016). The graph $\mathcal{G}_H(G)$ is complete if and only if $G/H$ is cyclic if and only if $\mathcal{G}(G/H)$ is complete. The graph $\mathcal{G}_H(G)$ is Eulerian if and only if $|G|$ is odd if and only if $\mathcal{G}(G)$ is Eulerian, i.e., the property of being Eulerian does not depend on the normal subgroup $H$.

研究动机与目标

• 定义并分析增强商图 $\mathcal{G}_H(G)$，这是一种基于陪集邻接关系的新图构造，应用于商群 $G/H$。
• 建立 $Γ_H(G)$ 的结构性质，包括连通性、团结构，以及欧拉性和平面性特征。
• 将 $Γ_H(G)$ 与增强幂图 $Γ(G/H)$ 进行比较，揭示其深层的代数-图论等价性。
• 研究 $Γ_H(G)$ 为欧拉图、完全图或平面图的条件，将其与 $G/H$ 的群论不变量联系起来。
• 拓展对删去增强商图 $Γ_H^*(G)$ 的研究，分析其连通性与结构特性，关联于 $G/H$ 的中心结构与元素阶。

提出的方法

• 定义 $Γ_H(G)$ 的顶点集为 $(G \setminus H) \cup \{e\}$，当两顶点位于同一陪集或属于 $G/H$ 的某个循环子群时存在边。
• 利用条件 $\{a,b\} \in E(\mathcal{G}_H(G))$ 当且仅当 $aH = bH$ 或 $\{aH, bH\} \in E(\mathcal{G}(G/H))$，将 $Γ_H(G)$ 与增强幂图 $Γ(G/H)$ 关联起来。
• 运用关于循环子群与元素阶的群论结果，推导出团数 $\omega(\mathcal{G}_H(G)) = |H|^{s-1} + 1$，其中 $s$ 为 $G/H$ 中循环子群的最大阶。
• 借助库拉托夫斯基定理判断平面性：$Γ_H(G)$ 非平面当且仅当 $|H| \geq 4$，或 $|H|=1$ 且 $s \geq 5$，或 $|H|=2$ 且 $s \geq 3$，或 $|H|=3$ 且 $s \geq 2$。
• 通过移除单位元顶点分析删去图 $Γ_H^*(G)$，并基于 $G/H$ 中极小子群的唯一性与中心结构推导其连通性条件。
• 利用 $Γ_H(G)$ 为 $k$-分图当且仅当对所有 $aH \in G/H$ 有 $|aH| \leq 2$ 的等价关系，得出当 $Γ_H(G)$ 的围长为 $|H|$ 时，$G/H \cong \mathbb{Z}_2^k$。

实验结果

研究问题

• RQ1 增强商图 $Γ_H(G)$ 何时为完全图？这与 $G/H$ 的循环性有何关联？
• RQ2 在何种条件下 $Γ_H(G)$ 为欧拉图？该性质是否依赖于正规子群 $H$ 的选择？
• RQ3 在完全性与欧拉性方面，$Γ_H(G)$ 的结构与增强幂图 $Γ(G/H)$ 有何关联？
• RQ4 $Γ_H(G)$ 为平面图的充要条件是什么？$H$ 的大小与 $G/H$ 的指数如何影响该性质？
• RQ5 删去增强商图 $Γ_H^*(G)$ 的哪些刻画成立，特别是其 $k$-分性与围长？

主要发现

• $\mathcal{G}_H(G)$ 是完全图当且仅当 $G/H$ 是循环群，且该条件等价于增强幂图 $\mathcal{G}(G/H)$ 为完全图。
• $\mathcal{G}_H(G)$ 是欧拉图当且仅当 $|G/H|$ 为奇数，且该性质与正规子群 $H$ 的选择无关。
• $\mathcal{G}_H(G)$ 的团数为 $|H|^{s-1} + 1$，其中 $s$ 为 $G/H$ 中循环子群的最大阶。
• $\mathcal{G}_H(G)$ 至少包含 $|H|^{[G:H]-1}$ 个与 $\mathcal{G}(G/H)$ 同构的子图，反映了其基于陪集的构造特性。
• $\mathcal{G}_H(G)$ 为非平面图当且仅当 $|H| \geq 4$，或 $|H|=1$ 且 $s \geq 5$，或 $|H|=2$ 且 $s \geq 3$，或 $|H|=3$ 且 $s \geq 2$。
• 删去增强商图 $\mathcal{G}_H^*(G)$ 为 $k$-分图且每陪集对应一个大小为 1 的部分当且仅当 $G/H \cong \mathbb{Z}_2^k$，且该条件恰好在 $\mathcal{G}_H^*(G)$ 的围长为 $|H|$ 时成立。