[论文解读] The existence of Zariski dense orbits for endomorphisms of projective surfaces (with an appendix in collaboration with Thomas Tucker)

Junyi Xie|arXiv (Cornell University)|May 16, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 49被引用 9

一句话总结

本文证明了在特征零代数闭域上光滑射影曲面的主导自同态的Zariski稠密轨道猜想：若不存在关于该映射不变的非平凡有理函数，则存在Zariski稠密轨道。作者引入了阿代尔拓扑——一种强于Zariski拓扑的拓扑——并证明了该猜想的量化、阿代尔版本，该结果在曲面、阿贝尔簇以及分裂多项式映射的情形下成立，附录中关键地证明了该猜想在射影直线乘积情形下的成立性。

ABSTRACT

In this paper we prove the following theorem. Let $f$ be a dominant endomorphism of a smooth projective surface over an algebraically closed field of characteristic $0$. If there is no nonconstant invariant rational function under $f$, then there exists a closed point whose orbit under $f$ is Zariski dense. This result gives us a positive answer to the Zariski dense orbit conjecture proposed by Medvedev and Scanlon, by Amerik, Bogomolov and Rovinsky, and by Zhang, for endomorphisms of smooth projective surfaces. Moreover, we define a new canonical topology on varieties over an algebraically closed field which has finite transcendence degree over $\mathbb{Q}$. We call it the adelic topology. The adelic topology is stronger than the Zariski topology and an irreducible variety is still irreducible in this topology. Using the adelic topology, we propose an adelic verison of the Zariski dense orbit conjecture. This version is stronger then the original one and it quantifies how many such orbits there are. We also proved this adelic version for endomorphisms of smooth projective surfaces. Moreover, we proved the adelic verison of the Zariski dense orbit conjecture for endomorphisms of abelian varieties and split polynomial maps. This yields new proofs for the original version in this two cases. In Appendix A, we study the endomorphisms on the $k$-affinoid spaces. We show that for certain endomorphism $f$ on a $k$-affinoid space $X$, the attractor $Y$ of $f$ is a Zariski closed subset and the dynamics of $f$ semi-conjugates to its restriction on $Y.$ A special case of this result is used in the proof of the main theorem. In Appendix B, written in collaboration with Thomas Tucker, we prove the Zariski dense orbit conjecture for endomorphisms of $(\mathbb{P}^1)^N.$

研究动机与目标

• 解决特征零代数闭域上光滑射影曲面的主导自同态的Zariski稠密轨道猜想。
• 在Q的有限超越次数的域上引入并发展代数簇的阿代尔拓扑，该拓扑强于Zariski拓扑且保持不可约性。
• 提出并证明Zariski稠密轨道猜想的阿代尔版本，该版本量化了Zariski稠密轨道的丰沛性。
• 通过阿代尔框架为阿贝尔簇和分裂多项式映射的原始猜想提供新的证明。
• 建立k-仿射空间上自同态动力学的基础结果，这些结果在主证明中被使用。

提出的方法

• 在Q的有限超越次数的代数闭域上代数簇引入阿代尔拓扑，该拓扑通过阿代尔一般点和基本阿代尔子集定义。
• 利用阿代尔拓扑定义Zariski稠密轨道猜想的更强版本，即对任意Zariski开集U，存在一点其轨道位于U中且在X中Zariski稠密。
• 证明对于光滑射影曲面的自同态，若不存在非平凡f-不变有理函数，则存在Zariski稠密轨道。
• 利用增强自同态理论及不动点处的局部动力学构造不变邻域，并分析轨道闭包行为。
• 应用附录A中的k-仿射动力学结果，证明k-仿射空间上自同态的吸引子是Zariski闭集，且动力系统半共轭于其在吸引子上的限制。
• 利用与Thomas Tucker的合作成果（附录B），通过非例外型和Lattés型映射的性质，证明(P^1)^N上自同态的阿代尔版本猜想。

实验结果

研究问题

• RQ1 在特征零代数闭域上，光滑射影曲面的每个主导自同态是否在不存在非平凡f-不变有理函数时都存在Zariski稠密轨道？
• RQ2 Zariski稠密轨道猜想能否被强化为阿代尔版本，以保证在每个Zariski开子集中都存在此类轨道？
• RQ3 阿代尔拓扑在代数动力学中如何捕捉动力稠密性和不可约性？
• RQ4 k-仿射空间上自同态的动力学与射影簇上的全局动力学有何关系？
• RQ5 在(P^1)^N上的分裂多项式映射是否满足Zariski稠密轨道猜想的阿代尔版本？

主要发现

• 当不存在非平凡f-不变有理函数时，特征零代数闭域上光滑射影曲面的所有主导自同态均满足Zariski稠密轨道猜想。
• 阿代尔拓扑是Q的有限超越次数域上代数簇的良定义拓扑，其强于Zariski拓扑，且在该拓扑下不可约代数簇仍保持不可约。
• Zariski稠密轨道猜想的阿代尔版本已在光滑射影曲面、阿贝尔簇以及(P^1)^N上的分裂多项式映射的自同态上得到证明。
• 对于(P^1)^N上的自同态，通过归纳法在因子个数上证明了该猜想，利用了所有2重投影中存在非空阿代尔开集且其轨道在Zariski中稠密的性质。
• 证明了k-仿射空间上自同态的吸引子为Zariski闭集，且动力系统半共轭于其在吸引子上的限制，该结果在主证明中被使用。
• 本文通过先证明更强的阿代尔版本，为阿贝尔簇和分裂多项式映射的原始Zariski稠密轨道猜想提供了新的证明。