[论文解读] The extension problem of the mean curvature flow (I)

Haozhao Li, Bing Wang|arXiv (Cornell University)|Aug 9, 2016

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 44被引用 3

一句话总结

本文证明了在 ℝ³ 中任意闭、光滑、嵌入的平均曲率流，其平均曲率必在首个有限奇点时刻发生爆破，从而解决了长期悬而未决的猜想。通过缩放与弱紧致性技巧，作者证明了缩放后的流收敛于平面且重数为一，利用抛物型哈纳克不等式与稳定性估计，否定了更高重数极限的可能性。

ABSTRACT

We show that the mean curvature blows up at the first finite singular time for a closed smooth embedded mean curvature flow in R^3.

研究动机与目标

• 解决关于三维平均曲率流中平均曲率必在首个有限奇点时刻爆破的猜想。
• 在不假设初始超曲面为凸的前提下，解决平均曲率流的延拓问题。
• 证明在曲率有界条件下，缩放后的平均曲率流收敛于重数为一的平面。
• 为非图象型流建立一个双向、长时间伪局部性定理。
• 通过抛物型哈纳克不等式与稳定性分析，证明更高重数极限会导致矛盾。

提出的方法

• 对平均曲率流进行缩放，将奇点时刻转化为无穷远，从而将曲率爆破转化为趋于零的衰减。
• 在平均曲率有界与面积加倍条件下，建立一个双向、长时间伪局部性定理，无需依赖局部图象条件。
• 利用伪局部性定理证明能量集中性质，以控制曲率的集中。
• 应用弱紧致性，提取出一个既是极小又是自相似收缩的极限流，因此为平面。
• 在极限曲面的紧致子集上，对抛物方程的正解建立一致估计。
• 利用极限平面对奇点集的 L²-稳定性，排除重数大于一的可能性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 ℝ³ 中闭合嵌入的平均曲率流，其平均曲率是否必然在首个有限奇点时刻发生爆破？
• RQ2 在不假设初始超曲面为凸的条件下，平均曲率流的延拓问题是否可被解决？
• RQ3 缩放后的平均曲率流的极限是否必为重数为一的平面？
• RQ4 能否为有界曲率、非图象型的平均曲率流建立一个双向伪局部性定理？
• RQ5 能否排除在重数大于一的极限曲面上存在抛物方程正解的可能性？

主要发现

• 对于 ℝ³ 中任意闭、光滑、嵌入的平均曲率流，其平均曲率在首个有限奇点时刻 T < ∞ 处发生爆破。
• 在曲率有界假设下，缩放后的平均曲率流弱收敛于重数为一的平面。
• 为具有有界 H 与面积加倍性质的平均曲率流建立了一个双向、长时间伪局部性定理，即使在无局部图象条件时也成立。
• 通过伪局部性定理证明了能量集中，从而实现了流序列的弱紧致性。
• 在重数大于一的极限曲面上存在抛物方程正解，将导致矛盾，该结论通过抛物型哈纳克不等式与稳定性估计得出。
• 证明了极限曲面具有 L²-稳定性，从而排除了更高重数极限，确认了重数为一的收敛性。