[论文解读] The Fermat cubic and special Hurwitz loci in M_g

Gavril Farkas|arXiv (Cornell University)|Nov 8, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 4被引用 5

一句话总结

本文计算了在 $¯{\mathcal{M}}_{2d-3}$ 中参数化具有到 $¯{\mathbb{P}}^1$ 的度数为 $d$ 的映射且具有两个未指定三重分支点的曲线的紧化Hurwitz除子 $\overline{\mathfrak{TR}}_d$ 的类。结果表明该除子并非从伪稳定曲线模空间拉回而来，并确定其与边界 $\Delta_1$ 的交点包含Fermat三次曲线尾部的子簇，提供了首个具有非平凡边界行为的此类几何除子的显式例子。

ABSTRACT

We compute the class of the locus in M_g of curves having a pencil with two unspecified triple ramification points. This is the first example of a geometric divisor on M_g which is not the pull-back of a divisor on the moduli space of pseudo-stable curves. This space, in which elliptic tails are replaced by cusps, appears as a result of the first divisorial contraction in the minimal model program for M_g. In particular, we show that our divisor picks-up the locus of Fermat cubic tails when restricted to the boundary divisor of elliptic tails. We also give various enumerative applications concerning coverings of the generic curve having special ramification behaviour.

研究动机与目标

• 计算在 $¯{\mathcal{M}}_{2d-3}$ 中参数化具有到 $¯{\mathbb{P}}^1$ 的度数为 $d$ 的映射且具有两个未指定三重分支点的曲线的紧化Hurwitz除子 $\overline{\mathfrak{TR}}_d$ 的类。
• 证明 $\overline{\mathfrak{TR}}_d$ 并非从伪稳定曲线模空间 $\overline{\mathcal{M}}_g^{\mathrm{ps}}$ 拉回而来，从而将其与此前已知的几何除子区分开来。
• 分析 $\overline{\mathfrak{TR}}_d$ 与边界除子 $\Delta_1$ 的交点，揭示Fermat三次曲线尾部子簇的出现。

提出的方法

• 作者使用涉及Hodge类 $\lambda$ 和边界类 $\delta_0, \dots, \delta_{d-2}$ 的显式公式，在 $\mathrm{Pic}(\overline{\mathcal{M}}_{2d-3})$ 中计算 $\overline{\mathfrak{TR}}_d$ 的类，其系数由组合与枚举几何推导得出。
• 他们分析 $\overline{\mathfrak{TR}}_d$ 在边界除子 $\Delta_1 \cong \overline{\mathcal{M}}_{1,1} \times \overline{\mathcal{M}}_{g-1,1}$ 上的限制，通过退化技术识别出Fermat三次曲线尾部的贡献。
• 该计算依赖于对具有有理尾部和椭圆尾部的稳定曲线的可接受覆盖的计数，使用Brill-Noether理论以及在亏格1和2曲线上线性系列的性质。
• 他们利用可接受覆盖的模空间 $\overline{\mathcal{A}}_d$ 来计算映射 $\phi$ 的次数，该次数计数了满足指定分支条件的此类覆盖的数量。
• 该方法基于在椭圆尾部上映射的度数进行情况分析，区分映射在椭圆分量上度数为3或4的情形。
• 他们利用命题5.1的结果以及椭圆曲线上线性系统已知的计数，推导出此类线性系列数量的显式公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 紧化Hurwitz除子 $\overline{\mathfrak{TR}}_d$ 在 $\overline{\mathcal{M}}_{2d-3}$ 中是否为从伪稳定曲线模空间 $\overline{\mathcal{M}}_g^{\mathrm{ps}}$ 拉回而来？
• RQ2 在 $\overline{\mathcal{M}}_{2d-3}$ 的Picard群中，$\overline{\mathfrak{TR}}_d$ 的精确类是什么？其表达式应以 $\lambda$ 和 $\delta_i$ 表示。
• RQ3 $\overline{\mathfrak{TR}}_d$ 如何与边界除子 $\Delta_1$ 相交？它在该处检测到何种几何子簇？

主要发现

• 在 $\mathrm{Pic}(\overline{\mathcal{M}}_{2d-3})$ 中，$\overline{\mathfrak{TR}}_d$ 的类由下式给出：$\overline{\mathfrak{TR}}_d \equiv 2\frac{(2d-6)!}{d!\,(d-3)!}\left(a\lambda - b_0\delta_0 - \sum_{i=1}^{d-2} b_i\delta_i\right)$，其中系数 $a$、$b_0$ 和 $b_i$ 依赖于 $d$。
• 除子 $\overline{\mathfrak{TR}}_d$ 是首个已知的在 $\overline{\mathcal{M}}_g$ 中并非从伪稳定曲线模空间拉回的几何除子。
• $\overline{\mathfrak{TR}}_d$ 在 $\Delta_1$ 上的限制包含具有Fermat三次曲线尾部的子簇，具体为 $\alpha \cdot \{\text{Fermat三次曲线}\} \times \overline{\mathcal{M}}_{g-1,1}$，其中 $\alpha = \frac{3(2d-4)!}{d!\,(d-3)!}$。
• 当 $d=4$ 时，计算出在一般带标记点的曲线 $[C,p] \in \mathcal{M}_{2,1}$ 上具有两个三重分支点且在 $p$ 处总分支的线性系统数量为 $N_2(4) = 210$，与已知的 $N_3(4)$ 值一致。
• 在 $\overline{\mathcal{M}}_{2,1}$ 中，紧化除子 $\overline{\mathcal{D}}_3$ 的类被确定为 $640\psi - 860\lambda + 72\delta_0$，提供了低亏格下精确的塔罗类。
• 在一般带标记点的曲线 $[C,p] \in \mathcal{M}_{2d-5,1}$ 上，满足 $h^0(L \otimes \mathcal{O}_C(-3x)) \geq 1$ 且 $h^0(L \otimes \mathcal{O}_C(-2p-2y)) \geq 1$ 的线性系统数量为 $N_3(d) = \frac{84(d-3)(2d^2 - 10d + 13)(2d-4)!}{d!\,(d-2)!}$。