[论文解读] The filled Julia set of a Drinfeld module and uniform bounds for torsion

Patrick Ingram|arXiv (Cornell University)|Oct 10, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 16被引用 3

一句话总结

本文通过引入局部域和阿代尔域上的填充若尔当代数集及其分量模，为德林费尔德模建立了动力系统框架。证明了若该分量模的结构满足一个猜想，则德林费尔德模的扭子群存在统一有界性；并对某些族类验证了该猜想，从而在特殊情形下得到了显式的统一扭子界。

ABSTRACT

If M is a Drinfeld module over a local function field L, we may view M as a dynamical system, and consider its filled Julia set J. If J^0 is the connected component of the identity, relative to the Berkovich topology, we give a characterisation of the component module J/J^0 which is analogous to the Kodaira-Neron characterisation of the special fibre of a Neron model of an elliptic curve over a non-archimedean field. In particular, if L is the fraction field of a discrete valuation ring, then the component module is finite, and moreover trivial in the case of good reduction. In the context of global function fields, the filled Julia set may be considered as an object over the ring of finite adeles. In this setting we formulate a conjecture about the structure of the (finite) component module which, if true, would imply Poonen's Uniform Boundedness Conjecture for torsion on Drinfeld modules of a given rank over a given global function field. Finally, we prove this conjecture for certain families of Drinfeld modules, obtaining uniform bounds on torsion in some special cases.

研究动机与目标

• 通过局部和整体函数域上的填充若尔当代数集与分量模，建立德林费尔德模的动力系统解释。
• 提出一个关于阿代尔分量模结构的猜想，该猜想蕴含普诺恩的德林费尔德模扭子群统一有界性猜想。
• 对特定族的德林费尔德模证明该猜想，从而在这些情形下确立统一扭子界。
• 与椭圆曲线的科达伊拉-尼伦模型类比，为德林费尔德模情形下的分量模提供平行结构。
• 定义一个类似高度的不变量 μ(φ, N, a)，用以衡量分量模较小的素位所占比例，并将其与扭子群界联系起来。

提出的方法

• 将填充若尔当代数集 FJ(φ) 定义为局部函数域 L_v 的代数闭包的完备化 C_v 上 φ(C_v) 的最大有界子模。
• 引入伯克维奇拓扑下单位元的连通分支 φ⁰(L_v)，并研究商模 FJ(φ, L_v)/φ⁰(L_v)，其构成有限 A-模。
• 利用伯克维奇解析空间 A¹_Berk 分析填充若尔当代数集及其分量的拓扑与结构。
• 定义一个取值于 [0, 1] 的测度 μ(φ, N, a)，量化在最多 N 个例外之外的有限素位中，分量模被理想 a 消去的比例。
• 证明：若 μ(φ, N, a) ≥ 1/q，则扭子群 φ^Tors(L) 的大小被一个仅依赖于 r、N 和 a 的常数统一有界。
• 通过考虑阿代尔填充若尔当代数集并利用分量模结构，将德林费尔德模在整体函数域上的理论应用于推导扭子界。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否以类似于椭圆曲线科达伊拉-尼伦模型的方式，刻画局部函数域上德林费尔德模的分量模 FJ(φ, L_v)/φ⁰(L_v)？
• RQ2 关于阿代尔分量模结构的猜想是否蕴含普诺恩对德林费尔德模扭子群的统一有界性猜想？
• RQ3 该分量模结构的猜想在哪些德林费尔德模族中已被验证？可推导出哪些统一扭子界？
• RQ4 不变量 μ(φ, N, a) 如何与分量模较小的素位分布相关联？它如何控制扭子群的增长？
• RQ5 与椭圆曲线的类比在德林费尔德模情形下，就分量模与基于高度的测度而言，能延伸到何种程度？

主要发现

• 分量模 FJ(φ, L_v)/φ⁰(L_v) 是有限 A-模，且在良好约化情形下平凡。
• 对于任意整体函数域上的德林费尔德模 φ，其阿代尔分量模是有限的，其结构控制扭子群的有界性。
• 若 μ(φ, N, a) ≥ 1/q，则扭子群 φ^Tors(L) 的大小被一个仅依赖于秩 r、理想 a 和坏约化素位数 N 的常数统一有界。
• 关于分量模结构的猜想蕴含普诺恩对给定秩与给定整体函数域上德林费尔德模的统一有界性猜想。
• 该猜想已在某些德林费尔德模族中被证明，从而在这些情形下得到了显式的统一扭子界。
• 该方法通过将填充若尔当代数集与分量模作为核心对象，推广了吉奥卡的早期结果，进一步拓展了与椭圆曲线的类比。