[论文解读] The final log canonical model of the moduli space of stable curves of genus four

Maksym Fedorchuk|arXiv (Cornell University)|Jun 24, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 16被引用 7

一句话总结

本文将模空间 $\overline{M}_4$ 的最终非平凡对数卡坦诺模型识别为 $\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1$ 上 $(3,3)$-曲线线性系统关于 GIT 商的构造，证明其同构于 $\overline{M}_4(\alpha)$，其中 $8/17 < \alpha \leq 29/60$。主要结果确认了到该模型的有理映射收缩了 Petri 除子，从而通过展示一个消除四行数的有理收缩，解决了 Farkas 提出的问题。

ABSTRACT

We describe the final log canonical model of the moduli space of stable curves of genus four. We prove that the rational map from $\bar{M}_4$ to this model contracts the Petri and the boundary divisors and flips the hyperelliptic locus. As an application, we find an exact bound on slopes of moving divisors on $\bar{M}_4$.

研究动机与目标

• 解决 Farkas 提出的问题：在 $\overline{M}_4$ 中是否存在一个有理收缩，使得 Petri 除子被收缩？
• 描述 Hassett-Keel 对数极小模型程序中 $\overline{M}_4$ 的最终非平凡步骤。
• 验证所得的对数卡坦诺模型满足 Altmann-Farkas-Swinarski (AFS10) 提出的四行数曲线模性原理。
• 识别在最终对数卡坦诺模型中，取代具有特殊线性系统之光滑曲线的奇异曲线。

提出的方法

• 通过群 $G = \mathrm{SL}(2)\times\mathrm{SL}(2)\rtimes\mathbb{Z}_2$ 作用于线性系统 $|\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1}(3,3)| \simeq \mathbb{P}^{15}$，将对数卡坦诺模型 $\overline{M}_4(\alpha)$ 构造为 GIT 商。
• 利用群 $G$（作为 $\mathrm{Aut}(\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1)$ 的有限覆盖）线性化线丛 $\mathcal{O}_V(1)$，以确保 GIT 稳定性定义良好。
• 分析有理映射 $f: \overline{M}_4 \dashrightarrow \overline{M}_4(29/60)$ 的不定点集，证明其在双曲曲面族和具有双曲曲面归一化的不可约节点曲线处无定义。
• 通过研究 $(3,3)$-曲线退化族的稳定极限，证明映射 $f$ 将 Petri 除子 $P$ 收缩为一点。
• 应用稳定极限与退化理论，证明 $A_8$-奇异曲线的稳定极限族是双曲曲面族 $\overline{H}_4$，从而在目标空间中实现 $\overline{H}_4$ 到一条有理曲线 $A$ 的翻转。
• 通过将预测的奇异曲线替换与实际的 GIT 退化进行匹配，验证最终模型 $\overline{M}_4(29/60)$ 满足模性原理。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一个 $\overline{M}_4$ 上的有理收缩，使得 Petri 除子 $P$ 被收缩，即使在双曲曲面族外部无法定义此类收缩？
• RQ2 在 Hassett-Keel 程序中，$\overline{M}_4$ 的最终非平凡对数卡坦诺模型是什么？其几何实现方式如何？
• RQ3 在最终对数卡坦诺模型 $\overline{M}_4(29/60)$ 中，哪些奇异曲线出现？它们如何取代具有特殊线性系统的光滑曲线？
• RQ4 双曲曲面族与具有椭圆三叉结构的曲线的轨迹在最终收缩下如何变换？
• RQ5 AFS10 对 $\overline{M}_4(\alpha)$ 结构的预测在 $\alpha = 29/60$ 处在多大程度上成立？

主要发现

• 对于 $\alpha \in (8/17, 29/60]$，最终非平凡对数卡坦诺模型 $\overline{M}_4(\alpha)$ 同构于线性系统 $|\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1}(3,3)|$ 关于 $\mathrm{SL}(2)\times\mathrm{SL}(2)\rtimes\mathbb{Z}_2$ 作用的 GIT 商，确认了该模型的模性实现。
• 有理映射 $f: \overline{M}_4 \dashrightarrow \overline{M}_4(29/60)$ 将 Petri 除子 $P$ 收缩为单一点，该点参数化三重圆锥，从而正面回答了 Farkas 的问题。
• 映射 $f$ 同样将边界除子 $\Delta_1$ 和 $\Delta_2$ 收缩为点，其中 $\Delta_2$ 映射到最大退化的 $A_5$-曲线。
• 双曲曲面族 $\overline{H}_4$ 被翻转为一条参数化具有 $A_8$ 和 $A_9$ 奇点的曲线的有理曲线 $A$，即 $\overline{H}_4$ 一般点的全拉回。
• 双曲圆锥的稳定极限族包含于 $\Delta_0$，因此不包含一般双曲曲线，从而确认 $\overline{H_4}$ 的翻转是适当的。
• 最终模型 $\overline{M}_4(29/60)$ 实现了对数卡坦诺模型的预期行为：双曲曲线被 $A_8$-曲线取代，具有椭圆三叉结构的曲线被 $D_4$-曲线取代，一般 $\Delta_2$-曲线被 $A_5$-曲线取代。