[论文解读] The Fyodorov-Hiary-Keating Conjecture. II

Louis‐Pierre Arguin, Paul Bourgade+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 3, 2023

Analytic Number Theory ResearchMathematics被引用 3

一句话总结

本文完成了对Fyodorov-Hiary-Keating关于临界线上短区间内黎曼ζ函数极端值的猜想的证明。通过在 |h| ≤ 1 上建立 |ζ(1/2 + it + ih)| 的最大值的紧下界，确认了最大值的分布收敛于一个极限分布，其尾部衰减为 ∼ye⁻²ʸ，从而证实了对数相关场的普遍性类，如预测所示。

ABSTRACT

We prove a lower bound on the maximum of the Riemann zeta function in a typical short interval on the critical line. Together with the upper bound from the previous work of the authors, this implies tightness of $$ \max_{|h|\leq 1}|ζ( frac 12+{ m i} τ+{ m i} h)|\cdot \frac{(\log\log T)^{3/4}}{\log T}, $$ for large $T$, where $τ$ is uniformly distributed on $[T,2T]$. The techniques are also applied to bound the right tail of the maximum, proving the distributional decay $\asymp y e^{-2y}$ for $y$ positive. This confirms the Fyodorov-Hiary-Keating conjecture, which states that the maximum of $ζ$ in short intervals lies in the universality class of logarithmically correlated fields.

研究动机与目标

• 完成对临界线上短区间内黎曼ζ函数极端值的Fyodorov-Hiary-Keating猜想的证明。
• 在 |h| ≤ 1 上建立 |ζ(1/2 + it + ih)| 的归一化最大值的紧致性，与先前工作的上界相匹配。
• 确认最大值的极限分布具有 ∼ye⁻²ʸ 的尾部衰减（当 y 为大正数时），完成猜想的渐近刻画。
• 通过Dirichlet多项式逼近和相关随机游走，将ζ函数极端值与分支过程的联系进一步拓展。

提出的方法

• 通过有限Euler乘积对ζ进行新颖的积分逼近，将 log|ζ| 与临界线上Dirichlet多项式部分和（Sₖ(h)）联系起来。
• 对以对数-对数尺度上素数为索引的相关高斯随机游走（Sₖ(h)）进行精细化分析，以模拟ζ函数的行为。
• 引入一个下界屏障，以控制即使对大素数，Sₖ(h) 增量中的大偏离，确保极端值的出现。
• 使用Dirichlet和精确编码事件：Sₖ(h) 始终位于由上下界屏障定义的走廊内。
• 利用选票定理和布朗桥耦合技术，控制保持正的概率，从而实现对罕见事件的控制。
• 结合 [ArgBouRad2020] 的结果与新输入，证明了下尾和右尾衰减，从而确认紧致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在临界线上典型短区间内，|ζ(1/2 + it + ih)| 在 |h| ≤ 1 上的最大值是否实现与 log T 和 (log log T)^{-3/4} 相关的预测渐近量纲？
• RQ2 短区间内 |ζ| 最大值的极限分布是否如Fyodorov、Hiary和Keating所猜想的那样，具有 ∼ye⁻²ʸ 的尾部衰减？
• RQ3 最大值的下尾是否能被足够紧地控制，以确认归一化最大值的子序列极限的存在？
• RQ4 ζ 的极端值是否源自类似于分支过程的机制，如Bramson情景所建议的那样？
• RQ5 ζ 与相关随机游走之间的联系是否足够精确，以推导出尖锐的尾部估计？

主要发现

• 本文建立了在 t ∈ [T, 2T] 上，使得 |ζ(1/2 + it + ih)| 在 |h| ≤ 1 上的最大值小于 e^{-y} log T / (log log T)^{3/4} 的测度的下界，表明其衰减为 c^{-1} y^{-c}（当 y ≥ 0 时）。
• 结合 [ArgBouRad2020] 的上界，该结果证明了归一化最大值的紧致性，确认最大值位于 O(1) 范围内，即 (log log T - 3/4 log log log T)。
• 归一化最大值的极限分布 F(y) 满足 F(y) ≍ y e^{-2y}（当 y 为大正数时），证实了猜想的右尾衰减。
• 子序列极限的存在性得以确立：存在子序列 Tₗ → ∞ 和一个分布 F，使得最大值超过 e^y log T / (log log T)^{3/4} 的归一化测度在 y 的可数集外一致收敛于 F(y)。
• 该证明确认了ζ函数在短区间内的极端值属于对数相关场的普遍性类，如Fyodorov-Hiary-Keating猜想所预测。
• 提出了一种新方法，以控制 Sₙₗ(h) 在高点处的正则性，从而实现对临界线上直接分析，无需偏离该线，优于先前方法。