[论文解读] The gap between unbounded regular operators

Kamran Sharifi|ArXiv.org|Jan 13, 2009

Advanced Operator Algebra Research参考文献 19被引用 10

一句话总结

本文研究希尔伯特 C*-模上无界正规算子空间的间隙拓扑与 Riesz 拓扑，表明有界共轭可定义算子构成间隙拓扑下的一個开稠密子集，且该子集上的间隙拓扑与范数拓扑一致。本文还证明了在紧算子系数的希尔伯特 C*-模上，正规自伴弗雷德霍姆算子的空间是道路连通的，其同伦类由指标分类；然而，这一结论在一般 C*-代数系数下不成立。

ABSTRACT

We study and compare the gap and the Riesz topologies of the space of all unbounded regular operators on Hilbert C*-modules. We show that the space of all bounded adjointable operators on Hilbert C*-modules is an open dense subset of the space of all unbounded regular operators with respect to the gap topology. The restriction of the gap topology on the space of all bounded adjointable operators is equivalent with the topology which is generated by the usual operator norm. The space of regular selfadjoint Fredholm operators on Hilbert C*-modules over the C*-algebra of compact operators is path-connected with respect to the gap topology, however, the result may not be true for some Hilbert C*-modules.

研究动机与目标

• 比较希尔伯特 C*-模上无界正规算子空间的间隙与 Riesz 拓扑。
• 研究在间隙拓扑下，有界共轭可定义算子在无界正规算子空间中的拓扑结构。
• 刻画在紧算子 C*-代数上希尔伯特 C*-模上正规弗雷德霍姆算子的路径连通分支。
• 确定自伴无界正规弗雷德霍姆算子的空间道路连通性结果是否可推广至一般的 C*-代数系数。

提出的方法

• 利用由稠密定义闭算子图的投影之间的范数差定义的间隙度量。
• 通过希尔伯特空间 $E_e$ 上的映射 $\psi(t) = t_e$，建立在 $\mathcal{K}(H)$ 上的希尔伯特 C*-模上稠密定义闭算子空间与希尔伯特空间上相应算子空间之间的等距同构。
• 利用正规弗雷德霍姆算子与其模紧算子的关联有界算子之间的等价性，结合伪逆。
• 借助 Cordes 与 Labarousse 关于希尔伯特空间上弗雷德霍姆算子道路连通性的结果，将分类结果推广至希尔伯特 $\mathcal{K}(H)$-模。
• 使用指标映射 $\text{ind}\,t = \dim_{\mathcal{K}}\ker(t) - \dim_{\mathcal{K}}\ker(t^*)$ 作为同伦不变量进行分类。
• 应用 Lance、Baaj-Julg 与 Woronowicz 关于希尔伯特 C*-模中无界正规算子及其伴随算子的研究结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 在希尔伯特 C*-模上无界正规算子空间中，间隙拓扑与 Riesz 拓扑如何比较？
• RQ2 在间隙拓扑下，有界共轭可定义算子空间是否为无界正规算子空间的稠密开子集？
• RQ3 有界共轭可定义算子空间上的间隙拓扑是否与范数拓扑一致？
• RQ4 两个希尔伯特 $\mathcal{K}(H)$-模上的无界正规自伴弗雷德霍姆算子是否当且仅当其指标相同时同伦？
• RQ5 自伴无界正规弗雷德霍姆算子空间的道路连通性结果是否可推广至任意 C*-代数系数的希尔伯特 C*-模？

主要发现

• 在间隙拓扑下，有界共轭可定义算子空间是无界正规算子空间的一个开稠密子集。
• 间隙拓扑限制在有界共轭可定义算子空间上，等价于由通常算子范数诱导的拓扑。
• 在希尔伯特 $\mathcal{K}(H)$-模上稠密定义闭算子空间与希尔伯特空间上相应算子空间之间存在一个保持间隙度量的等距同构。
• 在希尔伯特 $\mathcal{K}(H)$-模上，正规自伴弗雷德霍姆算子的空间在间隙拓扑下是道路连通的。
• 在希尔伯特 $\mathcal{K}(H)$-模上，两个无界正规弗雷德霍姆算子当且仅当其指标相同时同伦。
• 自伴无界正规弗雷德霍姆算子的空间道路连通性结果在所有 C*-代数系数下不成立，反例由 Joachim 定理给出。