[论文解读] The Generalized Hypergeometric Structure of the Ward Identities of CFT's in Momentum Space in $d > 2$

Claudio Corianò, Matteo Maria Maglio|arXiv (Cornell University)|Jan 27, 2020

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 57被引用 4

一句话总结

本文推导了在 $d > 2$ 维度下，CFT 在动量空间中规范对称性 Ward 恒等式的广义超几何结构，表明标量三和四点函数可用 3K 积分和 Appell $F_4$ 函数表示，双重共形对称性导致动量比值的四次方形式。主要贡献在于识别出这些超几何形式为共形对称性约束的解，包括与 Lauricella 函数及渐近极限下 4K 积分的关联。

ABSTRACT

We review the emergence of hypergeometric structures (of $F_4$ Appell functions) from the conformal Ward identities (CWIs) in conformal field theories (CFTs) in dimensions $d > 2$. We illustrate the case of scalar 3- and 4-point functions. 3-point functions are associated to hypergeometric systems with 4 independent solutions. For symmetric correlators they can be expressed in terms of a single 3K integral - functions of quadratic ratios of momenta - which is a parametric integral of three modified Bessel $K$ functions. In the case of scalar 4-point functions, by requiring the correlator to be conformal invariant in coordinate space as well as in some dual variables (i.e. dual conformal invariant), its explicit expression is also given by a 3K integral, or as a linear combination of Appell functions which are now quartic ratios of momenta. Similar expressions have been obtained in the past in the computation of an infinite class of planar ladder (Feynman) diagrams in perturbation theory, which, however, do not share the same (dual conformal/conformal) symmetry of our solutions. We then discuss some hypergeometric functions of 3 variables, which define 8 particular solutions of the CWIs and correspond to Lauricella functions. They can also be combined in terms of 4K integral and appear in an asymptotic description of the scalar 4-point function, in special kinematical limits.

研究动机与目标

• 理解在 $d > 2$ 维度下，CFT 的规范对称性 Ward 恒等式中，超几何函数的出现机制。
• 利用积分表示，推导标量三和四点函数在动量空间中的显式表达式。
• 确立双重共形对称性在将四点函数形式约束为 Appell $F_4$ 函数和 3K 积分中的作用。
• 将这些解与渐近运动学极限下的 Lauricella 函数及 4K 积分联系起来。

提出的方法

• 推导了在 $d > 2$ 维度下，标量三和四点函数在动量空间中的规范对称性 Ward 恒等式。
• 将三点头函数表示为涉及动量平方比值的修正贝塞尔 $K$ 函数的 3K 积分。
• 应用双重共形对称性，将四点头函数约束为包含动量四次比值的形式。
• 将规范对称性 Ward 恒等式（CWI）的解识别为 Appell $F_4$ 函数，并将其与贝塞尔函数的参数积分联系起来。
• 利用三变量超几何函数分析了 CWI 系统的八个特定解，对应于 Lauricella 函数。
• 通过 4K 积分和三变量超几何函数构建四点函数的渐近展开。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $d > 2$ 维度下，CFT 的动量空间规范对称性 Ward 恒等式中，超几何函数是如何出现的？
• RQ2 标量三点头函数在动量空间中的显式结构如何通过积分表示表达？
• RQ3 双重共形对称性如何约束动量空间中标量四点头函数的形式？
• RQ4 Lauricella 函数在描述规范对称性 Ward 恒等式的特定解中起什么作用？
• RQ5 4K 积分和三变量超几何函数如何在四点函数的渐近极限中出现？

主要发现

• 在 $d > 2$ 维度下，标量三点头函数由一个包含三个修正贝塞尔 $K$ 函数的 3K 积分描述，对应于动量的平方比值。
• 三点头函数的解构成一个具有四个独立解的系统，可通过 $F_4$ 类型的超几何函数实现。
• 同时满足共形对称性和双重共形对称性的标量四点头函数，可表示为 3K 积分或包含动量四次比值的 Appell $F_4$ 函数的线性组合。
• 四点头函数的解与三变量的 Lauricella 超几何函数相关联，后者定义了规范对称性 Ward 恒等式的八个特定解。
• 在特殊运动学极限下，四点头函数可通过 4K 积分和三变量超几何函数获得渐近描述。
• 所推导的表达式推广了平面 ladder 图的已知结果，但在其底层的共形对称性和双重共形对称性结构上存在差异。