[论文解读] The generic fiber of moduli spaces of bounded local $G$-shtukas

Urs Hartl, Eva Viehmann|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 45被引用 4

一句话总结

本文在函数域设定下建立了有界局部 $G$-shtuka 模空间的基础理论，将 Rapoport-Zink 空间推广至任意半单群。它构造了到周期空间的周期映射，定义了在一般纤维上的 Hecke 与自同构群作用相容的上层，并证明该上层的 $ι$-adic 上同调作为相关群的光滑表示是有限型的，为正特征下的几何局部朗兰兹纲领奠定了基础。

ABSTRACT

Moduli spaces of bounded local $G$-shtukas are a group-theoretic generalization of the function field analog of Rapoport and Zink's moduli spaces of $p$-divisible groups. In this article we generalize some very prominent concepts in the theory of Rapoport-Zink spaces to our setting. More precisely, we define period spaces, as well as the period map from a moduli space of bounded local $G$-shtukas to the corresponding period space, and we determine the image of the period map. Furthermore, we define a tower of coverings of the generic fiber of the moduli space which is equipped with a Hecke action and an action of a suitable automorphism group. Finally we consider the $\ell$-adic cohomology of these towers.

研究动机与目标

• 通过为任意半单群 $G$ 构造有界局部 $G$-shtuka 的模空间，将 Rapoport-Zink 理论推广至函数域。
• 定义周期空间及从模空间到该空间的周期映射，并确定该映射的像。
• 在模空间的一般纤维上构造一个带有 Hecke 算子与自同构群作用的覆盖上层。
• 研究该上层的 $ι$-adic 上同调，并确立其作为自同构群相关光滑表示的有限型性质。

提出的方法

• 将局部 $G$-shtuka 定义为对偶 $({\cal{G}}, \tau_{\cal{G}})$，其中 ${\cal{G}}$ 是 $L^+G$-主齐性空间，$\tau_{\cal{G}}$ 是同构 $\sigma^*L{\cal{G}} \to L{\cal{G}}$。
• 将周期空间构造为与群 $G$ 相关的旗流形，并定义从模空间到该空间的周期映射。
• 利用紧开子群构造一般纤维的覆盖上层，配备相容的 Hecke 与自同构群作用。
• 使用上同调谱序列分析上层的上同调，利用部分完备性与部分紧诱导性质。
• 通过证明其存在有限滤子且子商为有限型，证明上同调群为有限型。
• 应用光滑表示理论的结果，推导出 Ext-群的有限维性，从而确认上同调的有限型性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 从有界局部 $G$-shtuka 模空间到对应周期空间的周期映射的像是什么？
• RQ2 如何在模空间的一般纤维上构造一个 Hecke 与自同构群作用相容的上层？
• RQ3 该上层的 $ι$-adic 上同调作为自同构群 $J$ 的光滑表示，其结构如何？
• RQ4 该上层的上同调在函数域设定下，能在多大程度上实现局部朗兰兹对应？
• RQ5 在何种条件下，该上层的上同调作为光滑表示是有限型的？

主要发现

• 从有界局部 $G$-shtuka 模空间到周期空间的周期映射的像被明确确定。
• 模空间的一般纤维上存在一个覆盖上层，其上同时具有 Hecke 算子与定义 $G$-shtuka 的自同构群的交换作用。
• $ι$-adic 上同调群作为自同构群 $J$ 的光滑表示是有限型的。
• 通过涉及紧诱导与有限维表示的谱序列论证，证明了上同调群为有限型。
• 对任意 $J$ 的可容许表示 $\Pi$，Ext-群 $\operatorname{Ext}^p_J(H^q_c({\breve{\cal{M}}}^K, \overline{\mathbb{Q}}_\ell), \Pi)$ 在 $\overline{\mathbb{Q}}_\ell$ 上是有限维的，从而确认了上同调的有限型性质。
• 上同调通过部分完备性与谱序列计算得出，关键输入为 $U_K^\text{rig}$ 关于 $\breve{E}$ 是部分完备的。