[论文解读] The H\"older continuity of Lyapunov exponents for a class of Cos-type quasiperiodic Schr\"odinger cocycles

Jiahao Xu, Lingrui Ge+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2020

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 17被引用 4

一句话总结

本文建立了在固定非利翁频率、大耦合常数及$C^2$余弦型势函数条件下，一类拟周期薛定谔cocycle的Lyapunov指数的精确Hölder连续性，证明了其在全局范围内为$\frac{1}{2}$-Hölder连续，并在全测度谱集上具有局部Lipschitz连续性。此外，还表明对于任意$r \in [\frac{1}{2}, 1]$，谱中存在一个能量点，使得Lyapunov指数恰好为$r$-Hölder连续。

ABSTRACT

In this paper we obtain exact $\frac{1}{2}$-Holder continuity of the Lyapunov exponents for quasi-periodic Schodinger cocycles with $C^2$ cos-type potentials, large coupling constants, and fixed Diophantine frequency. Moreover, we prove the locally Lipschitz continuity of the Lyapunov exponent for a full measure spectral set. Furthermore, for any given $r$ between $\frac{1}{2}$ to $1$, we can find some energy on the spectrum and on which Lyapunov exponent is exactly $r$-Holder continuous.

研究动机与目标

• 建立一类拟周期薛定谔cocycle的Lyapunov指数精确Hölder正则性的目标。
• 分析具有$C^2$余弦型势函数的系统中Lyapunov指数关于能量的依赖关系。
• 确定Lyapunov指数在整个谱空间上的最优Hölder指数。
• 识别谱中Lyapunov指数表现出介于$\frac{1}{2}$与$1$之间的任意Hölder正则性的能量点。

提出的方法

• 利用光滑遍历理论与重整化技术分析拟周期薛定谔cocycle的动力学行为。
• 应用Avila-Cocycle方法研究Lyapunov指数的正则性性质。
• 利用非利翁频率条件以确保拟周期旋转并避免共振。
• 采用大耦合常数以稳定谱与动力学行为。
• 构造一个全测度谱集，使得Lyapunov指数在该集合上局部Lipschitz连续。
• 证明对于任意$r \in [\frac{1}{2}, 1]$，谱中存在一个能量点，使得Lyapunov指数恰好为$r$-Hölder连续。

实验结果

研究问题

• RQ1 在$C^2$余弦型拟周期薛定谔cocycle、大耦合常数及非利翁频率条件下，Lyapunov指数的最优Hölder指数是什么？
• RQ2 Lyapunov指数是否在谱的全测度子集上局部Lipschitz连续？
• RQ3 Lyapunov指数的Hölder指数是否可被精确调节至区间$[\frac{1}{2}, 1]$内的任意值，且在谱的某处能量点实现？
• RQ4 该类系统中，Lyapunov指数的$\frac{1}{2}$-Hölder连续性是否在全局范围内成立？
• RQ5 Lyapunov指数的正则性在谱的不同能量点之间如何变化？

主要发现

• 在给定条件下，所有谱中的能量点，Lyapunov指数均为精确的$\frac{1}{2}$-Hölder连续。
• 在谱的全测度子集上，Lyapunov指数为局部Lipschitz连续。
• 对于任意$r \in [\frac{1}{2}, 1]$，谱中至少存在一个能量点，使得Lyapunov指数恰好为$r$-Hölder连续。
• $C^2$光滑的余弦型势函数与大耦合常数是实现$\frac{1}{2}$-Hölder正则性的关键条件。
• 非利翁频率条件确保了必要的非利翁逼近性质，从而控制动力学与正则性。
• 结果表明，Lyapunov指数在整个能量谱上展现出丰富且连续的Hölder正则性谱。