[论文解读] The Hamilton principle for fluid binary mixtures with two temperatures

Henri Gouin, Tommaso Ruggeri|ArXiv.org|May 2, 2009

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics参考文献 27被引用 3

一句话总结

本文将哈密顿原理扩展至具有不同组分温度的流体二元混合物，通过包含多重熵和相对速度的变分法推导出运动方程与能量平衡方程。主要贡献在于识别出由温度差引起的动力压强项，该结果与经典热力学预测一致，并通过热力学第二定律使系统封闭。

ABSTRACT

For binary mixtures of fluids without chemical reactions, but with components having different temperatures, the Hamilton principle of least action is able to produce the equation of motion for each component and a balance equation of the total heat exchange between components. In this nonconservative case, a Gibbs dynamical identity connecting the equations of momenta, masses, energy and heat exchange allows to deduce the balance equation of energy of the mixture. Due to the unknown exchange of heat between components, the number of obtained equations is less than the number of field variables. The second law of thermodynamics constrains the possible expression of a supplementary constitutive equation closing the system of equations. The exchange of energy between components produces an increasing rate of entropy and creates a dynamical pressure term associated with the difference of temperature between components. This new dynamical pressure term fits with the results obtained by classical thermodynamical arguments and confirms that the Hamilton principle can afford to obtain the equations of motions for multi-temperature mixtures of fluids.

研究动机与目标

• 为每个组分具有独立温度和熵的流体二元混合物制定变分原理。
• 在非保守、多温度条件下，利用哈密顿原理推导各组分的运动方程和总能量平衡方程。
• 通过热力学第二定律约束的本构方程，使方程组得以封闭。
• 识别出由组分间温度差引起的动力压强项，其结果与经典热力学一致。
• 证明变分方法在弱耗散极限下可得到与已知定律（如菲克定律和傅里叶定律）一致的结果。

提出的方法

• 构建依赖于密度、熵、相对速度和外力的广义哈密顿作用量原理，其中拉格朗日量为相关变量的函数。
• 在欧拉坐标系中施加变分，推导各组分的运动方程和质量守恒方程。
• 利用时间平移不变性，推导组分之间的热量交换平衡方程。
• 通过吉布斯动力恒等式，将动量、质量、能量与热量交换方程关联，从而推导出混合物总能量方程。
• 在弱耗散混合物中引入局域平衡下的平均温度，以比较真实状态与平衡状态。
• 应用热力学第二定律，约束热量交换与动量产生项的本构形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 哈密顿原理能否被扩展至具有多种温度的流体混合物，以推导出一致的运动方程与能量平衡方程？
• RQ2 不同组分温度的存在如何影响变分形式及所得方程组？
• RQ3 热力学第二定律在约束此类混合物中热量与动量交换本构方程时起什么作用？
• RQ4 由组分间温度差引起的动力压强项如何与经典热力学结果关联？
• RQ5 在弱耗散极限下，所推导的方程如何退化为已知定律（如菲克定律、傅里叶定律）？

主要发现

• 变分形式成功推导出二元流体混合物中各组分的运动方程及组分间热量交换的平衡方程，该混合物具有两种温度。
• 由组分间温度差引起的动力压强项被识别出来，其结果与经典热力学预测一致。
• 吉布斯动力恒等式使我们能够从组分层面的平衡方程推导出混合物总能量方程，确保热力学一致性。
• 在弱耗散极限下，模型通过动量产生与速度差之间的正比关系，重现了菲克扩散定律。
• 熵产生项被证明为非负，满足热力学第二定律，且通过具有正比例系数的本构关系使系统得以封闭。
• 在一阶近似下，所推导的方程退化为经典形式（如纳维-斯托克斯方程、傅里叶定律），证实其与已建立的不可逆热力学理论的一致性。