[论文解读] The homotopy type of a topological stack

Johannes Ebert|ArXiv.org|Jan 21, 2009

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 12被引用 7

一句话总结

本文通过紧致化群概形的分类空间，为拓扑堆栈构建了一个明确定义的同伦类型函子，解决了由于选择图册带来的歧义。它建立了一个从拓扑堆栈的1-范畴到拓扑空间同伦范畴的函子，该函子与同伦等价及2-同构相容，并证明了同伦类型在同伦等价和2-同构意义下是良定义的。

ABSTRACT

The notion of the \emph{homotopy type} of a topological stack has been around in the literature for some time. The basic idea is that an atlas $X o \mathfrak{X}$ of a stack determines a topological groupoid $\mathbb{X}$ with object space $X$. The homotopy type of $\mathfrak{X}$ should be the classifying space $B \mathbb{X}$. The choice of an atlas is not part of the data of a stack and hence it is not immediately clear why this construction of a homotopy type is well-defined, let alone functorial. The purpose of this note is to give an elementary construction of such a homotopy-type functor.

研究动机与目标

• 解决由于依赖于图册选择而引起的拓扑堆栈同伦类型定义中的歧义。
• 构建一个从拓扑堆栈的1-范畴到拓扑空间同伦范畴的函子，该函子在同伦意义和2-同构意义下是良定义的。
• 确保该构造是函子性的，并与堆栈之间态射的同伦等价及2-同构相容。
• 将经典拓扑群的同伦类型构造（通过BG）推广到一般拓扑堆栈。
• 建立从同伦类型到堆栈的普遍弱同伦等价，其成立条件为同伦等价和2-同构意义下的可缩选择。

提出的方法

• 通过使用拓扑群概形（特别是紧致化群概形）的表示来定义堆栈的同伦类型，将其定义为群概形𝒢的分类空间B𝒢。
• 应用单纯拓扑空间的厚实化构造来构建分类空间，以确保紧致化性质和良好的拓扑性质。
• 引入“在可缩选择意义下定义的函子”概念，以处理图册选择非典范性的问题。
• 使用“模2-同构的伪自然变换”来形式化同伦类型构造的自然性。
• 依赖于紧致化Hausdorff空间是正规的且存在单位分解这一事实，从而能够构造局部有限的精化。
• 在厚实化构造中使用双重映射圆柱体，以递归方式构建实现空间，并证明其紧致化性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何使拓扑堆栈的同伦类型定义独立于图册的选择？
• RQ2 何种堆栈条件可确保其同伦类型是良定义且函子性的？
• RQ3 能否构造一个从同伦类型到堆栈的普遍弱同伦等价？若能，其成立意义为何？
• RQ4 同伦类型函子如何与堆栈之间态射的同伦等价及2-同构相互作用？
• RQ5 何种拓扑性质（如紧致化）是确保分类空间实现具有良好行为所必需的？

主要发现

• 对于一个可由紧致化群概形表示的小2-范畴𝒮，存在一个同伦类型函子Ho: τ≤1𝒮 → Top。
• 堆栈的同伦类型在同伦等价和2-同构意义下是良定义的，其表示为呈现群概形𝒢的分类空间B𝒢。
• 函子Ho与同伦等价相容：若两个态射是同伦等价的，则它们在Ho下的像也是同伦等价的。
• 该构造同时推广了标准的同伦范畴函子Top → Ho(Top)，以及将拓扑群G映射到BG的函子。
• 存在一个普遍弱同伦等价η: Ho(𝒳) → 𝒳，但仅在可缩选择和2-同构意义下成立，而非严格作为自然变换。
• 具有紧致化Hausdorff分量的单纯拓扑空间的厚实化是紧致化的，从而确保了分类空间的良好拓扑行为。