[论文解读] The homotopy type of the $\\infty$-category associated to a simplicial complex

Dimitri Ara, Georges Maltsiniotis|arXiv (Cornell University)|Mar 9, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用 4

一句话总结

本文证明了由偏序集生成的单纯复形所自由生成的严格∞-范畴，其同伦类型与原始复形相同。通过斯垂特的定向增强复形理论，利用斯垂特的定向单纯形中的拟初始对象结构，证明了这一点，并验证了严格∞-范畴上托马森模型结构所需的关键条件。

ABSTRACT

This paper is part of a series of papers about homotopy theory of strict $n$-categories. In the first paper of this series, we gave conditions that guarantee the existence of a Thomason model category structure on the category of strict $n$-categories. The main goal of our paper is to show one of these conditions. To do so, we associate to any simplicial complex a strict $\\infty$-category generated by a computad. We conjecture that this $\\infty$-category has the same homotopy type as the corresponding simplicial complex and we prove this conjecture when the simplicial complex comes from a poset. We introduce the notion of a quasi-initial object of an $\\infty$-category and we show that Street's orientals admit such an object. One of the main tools used in this text is Steiner's theory of augmented directed complexes.

研究动机与目标

• 验证严格n-范畴上托马森模型范畴结构存在的关键条件。
• 在单纯复形与其关联的严格∞-范畴之间建立同伦等价关系。
• 引入并分析∞-范畴中拟初始对象的概念。
• 证明斯垂特的定向单纯形具有拟初始对象，从而支持其同伦猜想。
• 应用斯蒂纳的增强定向复形理论作为同伦分析的基础工具。

提出的方法

• 通过计算范畴（computads）自由生成，从单纯复形构造严格∞-范畴。
• 利用斯蒂纳的增强定向复形理论，对∞-范畴的同伦结构进行建模。
• 将∞-范畴中的拟初始对象定义为高阶范畴论中初始对象的推广。
• 证明斯垂特的定向单纯形具有拟初始对象，从而支持其同伦收缩性与同伦平凡性。
• 在与偏序集-单纯复形相关的增强定向复形上构造收缩映射，以证明同伦等价性。
• 通过显式的链同伦论证，验证所得∞-范畴与原始单纯复形具有相同的同伦类型。

实验结果

研究问题

• RQ1 由偏序集生成的单纯复形所关联的严格∞-范畴，是否与该复形本身具有相同的同伦类型？
• RQ2 拟初始对象的概念能否用于检测∞-范畴中的同伦平凡性？
• RQ3 斯垂特的定向单纯形是否具有拟初始对象？这对其同伦类型有何含义？
• RQ4 斯蒂纳的增强定向复形理论如何应用于证明∞-范畴中的同伦等价性？
• RQ5 在何种条件下，由单纯复形生成的∞-范畴与原始复形托马森同伦等价？

主要发现

• 由偏序集生成的单纯复形所自由生成的严格∞-范畴，与原始单纯复形同伦等价。
• 斯垂特的定向单纯形具有拟初始对象，这暗示其同伦收缩性与同伦平凡性。
• 在∞-范畴中存在拟初始对象，可作为同伦平凡性的充分条件。
• 斯蒂纳的增强定向复形理论为分析∞-范畴的同伦性质提供了强有力的框架。
• 通过计算范畴与增强构造所生成的链复形具有良好性质，并具有显式收缩。
• ∞-范畴的同伦类型与单纯复形一致，从而在偏序集背景下验证了一项关键猜想。