[论文解读] The index of an Eisenstein ideal and multiplicity one

Hwajong Yoo|arXiv (Cornell University)|Nov 21, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用 5

一句话总结

本文将 Mazur 关于 Eisenstein 理想在素数水平上的工作推广到无平方因子水平，计算了 Eisenstein 理想的指标，并在某些条件下证明了模形式雅可比簇 $J_0(N)$ 的 $\frak{m}$-挠子群的维数为 2——当 $\pi_\ell(S_N) = 1$ 时，建立了 Eisenstein 极大理想下的重数一性定理。这些结果扩展了关于挠子群和模形式间同余关系的经典结果。

ABSTRACT

Mazur's fundamental work on Eisenstein ideals of prime level has a variety of arithmetic applications. In this article, we generalize some of his work to square-free level. More specifically, we attempt to compute the index of an Eisenstein ideal and the dimension of the m-torsion of the modular Jacobian variety, where m is an Eisenstein maximal ideal. In many cases, the dimension of the m-torsion is 2, in other words, a multiplicity one theorem holds.

研究动机与目标

• 将 Mazur 关于 Eisenstein 理想的指标以及 $J_0(N)$ 中 $\frak{m}$-挠子群维数的结果，从素数水平推广到无平方因子水平。
• 计算 Hecke 代数 $\tau(N)$ 中 Eisenstein 理想 $I_M$ 的指标，证明其同构于 $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$，其中 $m$ 是 $\frac{\varphi(N)\psi(N/M)}{24}$ 的分子。
• 研究在残数特征 $\ell \nmid 6N$ 下，Eisenstein 极大理想 $\frak{m}$ 的 $J_0(N)[\frak{m}]$ 的维数，尤其关注条件 $\pi_\ell(S_N) = 1$ 的情形。
• 证明在无平方因子水平下，Eisenstein 极大理想满足重数一性定理，即当 $\pi_\ell(S_N) = 1$ 时，有 $\dim J_0(N)[\frak{m}] = 2$。
• 通过分析分歧与挠子群结构，支持广义 Ogg 猜想，即 $J_0(N)$ 的有理挠子群等于尖点群。

提出的方法

• 定义由 $U_p - 1$、$U_q - q$ 和 $T_r - r - 1$ 生成的 Eisenstein 理想 $I_M$，其中 $p \mid M$，$q \mid N/M$，$r \nmid N$，推广 Mazur 的构造。
• 利用 $\varphi(N) = \prod (p_i - 1)$ 和 $\psi(N/M) = \prod (p_i + 1)$ 定义 $\mathbb{T}(N)/I_M$ 的指标 $m$ 为 $\frac{\varphi(N)\psi(N/M)}{24}$ 的分子。
• 通过伽罗瓦表示与 Serre-Tate 理论分析 $J_0(N)$ 的 $\frak{m}$-挠子群，特别关注整除 $N$ 的素数处的分歧。
• 将 $\pi_\ell(S_N)$ 定义为满足 $p \equiv \pm 1 \pmod{\ell}$ 的素数 $p \mid N$ 的个数，并将其作为关键不变量，用于控制 $\dim J_0(N)[\frak{m}]$。
• 应用 Ribet 的模形式理论与新形式理论，判断 $\frak{m}$ 是否为新或旧，并利用 Nakayama 引理控制 $J_{{\rm new}}[\frak{m}]$ 的维数。
• 利用 Verschiebung 同态及涉及 Néron 模型的恒同分支 $J^0$ 与环面 $T$ 的正合列，分析在素数 $q$ 处的 $J[\frak{m}]$。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于无平方因子 $N$，Eisenstein 理想 $I_M$ 在 Hecke 代数 $\mathbb{T}(N)$ 中的指标是什么？
• RQ2 在何种条件下，Eisenstein 极大理想 $\frak{m}$ 满足 $\dim J_0(N)[\frak{m}] = 2$？
• RQ3 $\pi_\ell(S_N) = 1$ 这一条件如何与 $J_0(N)[\frak{m}]$ 的重数一性相关？
• RQ4 能否通过 Eisenstein 理想分析支持广义 Ogg 猜想，即 $J_0(N)$ 的有理挠子群等于尖点群？
• RQ5 当 $\frak{m}$ 在多个素数处分歧，特别是当 $q \equiv 1 \pmod{\ell}$ 时，$J_0(N)[\frak{m}]$ 的维数是多少？

主要发现

• 在 $y \nmid 2N$ 处局部化的 Eisenstein 理想 $I_M$ 在 $\mathbb{T}(N)$ 中同构于 $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$，其中 $m$ 是 $\frac{\varphi(N)\psi(N/M)}{24}$ 的分子。
• 当 $\pi_\ell(S_N) = 1$ 时，$J_0(N)[\frak{m}]$ 的维数恰好为 2，证实了在无平方因子水平下 Eisenstein 极大理想满足重数一性定理。
• 若 $q \equiv -1 \pmod{\ell}$ 且 $q$ 在模 $p$ 下不是 $\ell$ 次幂，则 $\dim J_0(N)[\frak{m}] = 2$，因为 $\frak{m}$ 在 $q$ 处无分歧，且 $\frak{m}$-挠子群为 $q$-旧型。
• 当 $q \equiv 1 \pmod{\ell}$ 时，$J_0(N)[\frak{m}]$ 的维数至少为 4，且在附加条件下可达到 5，该结果经 SAGE 计算与 Ribet 理论验证。
• $J_0(N)[\frak{m}]$ 的维数受 $1 + \varpi_0(\frak{m}) + \varpi_\ell(S_\frak{m})$ 限制，其中 $\varpi_0(\frak{m})$ 计数满足 $U_p \equiv 1 \pmod{\frak{m}}$ 且 $p \equiv 1 \pmod{\ell}$ 的素数 $p \mid N$。
• $J_0(N)$ 的有理挠子群包含于尖点群中，支持广义 Ogg 猜想，尤其在 $\pi_\ell(S_N) = 1$ 时更为显著。