[论文解读] The index of projective families of elliptic operators: the decomposable case

Varghese Mathai, Richard Melrose+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 29, 2008

Advanced Operator Algebra Research参考文献 22被引用 24

一句话总结

本论文在可分解情形下建立了投影族椭圆微分 operators 的解析指标与拓扑指标相等，其中Dixmier-Douady类可分解为 α ∪ β，α ∈ H¹(X;ℤ)，β ∈ H²(X;ℤ)，且在全空间上满足 φ*β = 0。关键贡献在于，扭曲K-理论指标类容许一个光滑Azumaya丛提升，从而可通过Chern-Weil方法计算扭曲Chern示性类，并在此设定下证明指标定理。

ABSTRACT

An index theory for projective families of elliptic pseudodifferential operators is developed when the twisting, i.e. Dixmier-Douady, class is decomposable. One of the features of this special case is that the corresponding Azumaya bundle can be realized in terms of smoothing operators. The topological and the analytic index of a projective family of elliptic operators both take values in the twisted K-theory of the parameterizing space. The main result is the equality of these two notions of index. The twisted Chern character of the index class is then computed by a variant of Chern-Weil theory.

研究动机与目标

• 将家族指标定理推广至扭曲K-理论，其中扭曲类 δ = α ∪ β 属于 H³(X;ℤ)。
• 证明当 β 在纤维丛的全空间上被平凡化时，相应的Azumaya丛容许光滑提升。
• 在这些条件下，证明扭曲K-理论中解析指标与拓扑指标相等。
• 通过Chern-Weil理论的一种变体，计算指标类的扭曲Chern示性类。

提出的方法

• 论文使用一个光滑函数 u ∈ C∞(X; U(1)) 来表示 α ∈ H¹(X;ℤ)，以构造具有类 δ 的主PU-丛。
• 构造一个具有Chern类 β ∈ H²(X;ℤ) 的Hermitian线丛 L，并利用条件 φ*β = 0 在全空间 Y 上将 β 平坦化。
• 假设纤维丛 φ: Y → X 满足 β 的拉回为零，从而在 X 上构造出一个光滑Azumaya丛 A。
• 解析指标通过 Y 上一族椭圆微分 operators 定义，取值于扭曲K-理论 K⁰(X; α, β)。
• 拓扑指标通过扭曲上同调中的Chern示性类定义，采用类似Chern-Weil的构造方法。
• 主要结果通过证明解析指标与拓扑指标在 K⁰(X; α, β) 中相等而得证。

实验结果

研究问题

• RQ1 当Dixmier-Douady类可分解为 α ∪ β，其中 α ∈ H¹(X;ℤ)，β ∈ H²(X;ℤ) 时，投影族椭圆微分 operators 的指标定理是否成立？
• RQ2 与这种可分解类相关的Azumaya丛是否可被提升为光滑的平滑化算子丛？
• RQ3 β 拉回到全空间 Y 何时为零？这一条件如何影响指标理论？
• RQ4 在此设定下，如何使用微分几何方法计算指标类的扭曲Chern示性类？
• RQ5 当扭曲类可分解且 β 在 Y 上被平凡化时，扭曲K-理论中解析指标是否等于拓扑指标？

主要发现

• 当Dixmier-Douady类可分解为 α ∪ β 且在 Y 上满足 φ*β = 0 时，投影族椭圆微分 operators 的解析指标与拓扑指标在扭曲K-理论中相等。
• 与扭曲类 δ = α ∪ β 相关的Azumaya丛容许光滑提升，从而为指标问题提供了微分几何方法。
• 通过Chern-Weil理论的一种变体，计算了指标类的扭曲Chern示性类，使用了满足 c₁(L) = β 的线丛 L 上连接的曲率形式。
• 在亏格 g > 1 的黎曼曲面的全族情形下，Hodge丛 Λ 满足 c₁(Λ) = (13/12)e₁，其中 e₁ 为第一个Mumford-Morita-Miller类。
• 行列式线丛 det(Λ)⊗¹² 的第一Chern类为 c₁(det(Λ)⊗¹²) = 13e₁，从而在 𝒪ℳ_g 上给出一个线丛 L，满足 c₁(L) = 13e₁。
• 在 𝕋 × 𝒪ℳ_g 上构造了一个典范的投影族Dirac算子，其解析指标属于 K⁰(𝕋 × 𝒪ℳ_g; a ∪ e₁)，其中 a 生成 H¹(𝕋;ℤ)。