[论文解读] The infinitesimal form of Brunn-Minkowski type inequalities

Andrea Colesanti, Galyna V. Livshyts+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 18, 2016

Point processes and geometric inequalities参考文献 22被引用 4

一句话总结

该论文在旋转不变对数凹测度下，针对接近球体的情形，建立了对数-布伦-明可夫斯基不等式与维数型布伦-明可夫斯基不等式的稳定性结果，并推导出其无穷小形式。论文证明了对无条件对称及平面对称凸集的强型Poincaré型不等式，并为任意测度提供了B-猜想的无穷小等价形式。

ABSTRACT

Log-Brunn-Minkowski inequality was conjectured by Bor\oczky, Lutwak, Yang and Zhang \cite{BLYZ}, and it states that a certain strengthening of the classical Brunn-Minkowski inequality is admissible in the case of symmetric convex sets. It was recently shown by Nayar, Zvavitch, the second and the third authors \cite{LMNZ}, that Log-Brunn-Minkowski inequality implies a certain dimensional Brunn-Minkowski inequality for log-concave measures, which in the case of Gaussian measure was conjectured by Gardner and Zvavitch \cite{GZ}. In this note, we obtain stability results for both Log-Brunn-Minkowski and dimensional Brunn-Minkowski inequalities for rotation invariant log-conave measures near a ball. Remarkably, the assumption of symmetry is only necessary for Log-Brunn-Minkowski stability, which emphasizes an important difference between the two conjectured inequalities. Also, we determine the infinitesimal version of the log-Brunn-Minkowski inequality. As a consequence, we obtain a strong Poincar\'{e}-type inequality in the case of unconditional convex sets, as well as for symmetric convex sets on the plane. Additionally, we derive an infinitesimal equivalent version of the B-conjecture for an arbitrary measure.

研究动机与目标

• 在旋转不变对数凹测度下，针对接近球体的情形，建立对数-布伦-明可夫斯基不等式的稳定性结果。
• 推导对数-布伦-明可夫斯基不等式的无穷小形式，并阐明其对Poincaré型不等式的含义。
• 研究对数凹测度下对数-布伦-明可夫斯基不等式与维数型布伦-明可夫斯基不等式之间的联系。
• 为任意测度提供B-猜想的无穷小等价形式。
• 阐明对称性在对数-布伦-明可夫斯基不等式稳定性与维数型版本之间所起的作用。

提出的方法

• 利用接近欧氏球体的稳定性分析，为对数-布伦-明可夫斯基不等式推导出定量估计。
• 应用变分法与无穷小扰动，推导对数-布伦-明可夫斯基不等式的无穷小形式。
• 利用旋转不变对数凹测度的结构，分析凸集在小形变下的行为。
• 通过无穷小形式，为无条件凸集与平面内对称凸集推导出Poincaré型不等式。
• 通过将测度在径向扰动下的二阶变分与之关联，建立B-猜想的无穷小等价形式。
• 依赖于étendard与对数凹测度理论中的已知结果，将无穷小形式与全局不等式联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在接近球体时，对数-布伦-明可夫斯基不等式在小扰动下的行为如何？可推导出何种稳定性估计？
• RQ2 对数-布伦-明可夫斯基不等式的无穷小形式是什么？它如何与Poincaré型不等式相关联？
• RQ3 对称性在对数-布伦-明可夫斯基不等式稳定性与维数型布伦-明可夫斯基不等式稳定性之间的差异体现在哪些方面？
• RQ4 能否为任意测度推导并表征B-猜想的无穷小版本？
• RQ5 无穷小形式对无条件凸集与平面内对称凸集具有何种影响？

主要发现

• 推导出对数-布伦-明可夫斯基不等式的无穷小形式，通过二阶变分提供了该不等式的局部刻画。
• 为无条件凸集及平面内对称凸集建立了强型Poincaré型不等式。
• 证明了在接近球体时对数-布伦-明可夫斯基不等式的稳定性，且对称性在此稳定性中起关键作用。
• 表明对数凹测度下的维数型布伦-明可夫斯基不等式在小扰动下是稳定的，且无需对称性假设。
• 推导出B-猜想的无穷小等价形式，该形式对任意旋转不变对数凹测度均成立。
• 研究结果凸显了两种不等式之间的根本差异：对称性对对数-布伦-明可夫斯基不等式稳定性至关重要，但对维数型版本则不然。