[论文解读] The join construction

Egbert Rijke|arXiv (Cornell University)|Jan 26, 2017

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 9被引用 19

一句话总结

本文在同伦类型论中引入了'连接构造'，以在不假设命题截断的前提下，通过有限次连接幂的余极限来定义映射 $f:A\to X$ 的像。证明了连接连通性定理，并使用改进的连接构造来构建集合商、Rezk完备化以及 $n$-截断，其设定为在对图商封闭的统一类型论宇宙中，表明对像的逼近随着连通性递增。

ABSTRACT

In homotopy type theory we can define the join of maps as a binary operation on maps with a common co-domain. This operation is commutative, associative, and the unique map from the empty type into the common codomain is a neutral element. Moreover, we show that the idempotents of the join of maps are precisely the embeddings, and we prove the `join connectivity theorem', which states that the connectivity of the join of maps equals the join of the connectivities of the individual maps. We define the image of a map $f:A o X$ in $U$ via the join construction, as the colimit of the finite join powers of $f$. The join powers therefore provide approximations of the image inclusion, and the join connectivity theorem implies that the approximating maps into the image increase in connectivity. A modified version of the join construction can be used to show that for any map $f:A o X$ in which $X$ is only assumed to be locally small, the image is a small type. We use the modified join construction to give an alternative construction of set-quotients, the Rezk completion of a precategory, and we define the $n$-truncation for any $n:\mathbb{N}$. Thus we see that each of these are definable operations on a univalent universe for Martin-Löf type theory with a natural numbers object, that is moreover closed under homotopy coequalizers.

研究动机与目标

• 在同伦类型论中不假设命题截断，构造映射 $f:A\to X$ 的像。
• 证明连接构造产生一系列连通性递增的像的逼近。
• 通过改进的连接构造将构造扩展至局部小类型。
• 将该方法应用于定义集合商、预范畴的 Rezk 完备化，以及在对图商封闭的统一类型论宇宙中的 $n$-截断。

提出的方法

• 将具有共同余域的两个映射的连接定义为二元运算，该运算满足交换律、结合律，并以空映射为单位元。
• 将 $f:A\to X$ 的像构造为 $f$ 的有限次连接幂的余极限，形成一系列连通性递增的逼近。
• 证明'连接连通性定理'：映射连接的连通性等于各映射个体连通性的连接。
• 引入改进的连接构造以处理余域 $X$ 仅为局部小类型的情况，确保像仍为小类型。
• 利用改进的构造，通过关系的像定义集合商，并通过核心代表映射的像定义 Rezk 完备化。
• 通过对适当的映射应用连接构造，为所有 $n\in\mathbb{N}$ 构造 $n$-截断，表明其在给定类型论设定中可定义。

实验结果

研究问题

• RQ1 在同伦类型论中，是否可以在不假设命题截断或带有路径构造子的高阶归纳类型的前提下构造映射的像？
• RQ2 映射的连接与连通性之间有何关系？该关系能否形式化为一个'连接连通性定理'？
• RQ3 当余域仅为局部小类型时，是否可以调整连接构造，以确保像仍为小类型？
• RQ4 改进的连接构造能否用于在对图商封闭的统一类型论宇宙中定义集合商、预范畴的 Rezk 完备化以及 $n$-截断？
• RQ5 映射 $f:A\to X$ 的连接幂序列是否产生连通性递增的像的逼近？

主要发现

• 映射的连接满足交换律、结合律，并以从空类型出发的唯一映射为单位元。
• 连接映射的幂等元恰好是嵌入映射。
• 连接连通性定理成立：映射连接的连通性等于各映射个体连通性的连接。
• 对于余域 $X$ 局部小的任意映射 $f:A\to X$，可使用改进的连接构造将其像构造为小类型。
• 映射 $f$ 的连接幂序列产生连通性递增的像的逼近。
• 在对图商封闭的统一类型论宇宙中，集合商、预范畴的 Rezk 完备化，以及所有 $n\in\mathbb{N}$ 的 $n$-截断均可被构造，且无需命题大小调整或递归高阶归纳类型。