[论文解读] The $L_p$ dual Minkowski problem for $p>1$ and $q>0$

Károly J. Böröczky, Ferenc Fodor|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2018

Point processes and geometric inequalities参考文献 12被引用 7

一句话总结

本论文通过建立一个凸体的Lp对偶曲率测度与单位球面上给定的正Borel测度相匹配的存在性，解决了p > 1和q > 0情形下的Lp对偶Minkowski问题的存在性部分。证明依赖于利用变分法和基于椭球逼近与测度估计的反证法，求解一类Monge-Ampère型偏微分方程，最终在原点中心化和测度非退化等自然几何约束下证明了解的存在性。

ABSTRACT

General $L_p$ dual curvature measures have recently been introduced by Lutwak, Yang and Zhang. These new measures unify several other geometric measures of the Brunn-Minkowski theory and the dual Brunn-Minkowski theory. $L_p$ dual curvature measures arise from $q$th dual inrinsic volumes by means of Alexandrov-type variational formulas. Lutwak, Yang and Zhang formulated the $L_p$ dual Minkowski problem, which concerns the characterization of $L_p$ dual curvature measures. In this paper, we solve the existence part of the $L_{p}$ dual Minkowski problem for $p>1$ and $q>0$, and we also discuss the regularity of the solution.

研究动机与目标

• 建立p > 1和q > 0情形下Lp对偶Minkowski问题解的存在性。
• 以单位球面上的正Borel测度形式表征凸体的Lp对偶曲率测度。
• 证明在适当条件下，给定的正Borel测度μ ∈ Sn−1可作为某个凸体K ∈ Kn(o)的Lp对偶曲率测度。
• 将经典Minkowski问题框架扩展至Lp对偶曲率测度设定，统一了Brunn-Minkowski理论与对偶Brunn-Minkowski理论的若干方面。

提出的方法

• 作者基于Alexandrov型公式采用变分法，将Lp对偶曲率测度与q阶对偶固有体积联系起来。
• 将问题约化为与凸体的支撑函数和径向函数相关的Monge-Ampère型偏微分方程的求解。
• 通过假设存在一列逼近凸体并利用法空间中的椭球逼近分析其行为，采用反证法。
• 证明依赖于利用几何与分析工具（包括John定理和Loewner椭球）估计支撑函数子水平集的测度。
• 关键估计针对凸函数v的Hessian行列式，通过不等式det(D²v) ≤ c₂ v^{p−1}在Ωε上建立其与Lp对偶曲率测度的关系。
• 反证源于对嵌套集合上测度浓度的比较，通过比较zε + 1/(2n)Eε与Ωε上的测度比值，当ε → 0时导出矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，给定的正Borel测度μ ∈ Sn−1可作为p > 1和q > 0情形下某凸体K ∈ Kn(o)的Lp对偶曲率测度？
• RQ2 能否通过变分法与PDE方法建立Lp对偶Minkowski问题解的存在性？
• RQ3 为确保解的存在性，测度μ必须满足哪些几何与分析约束？
• RQ4 解的正则性如何依赖于参数p和q，特别是当q > n时？

主要发现

• 论文在给定测度μ为正且关于原点对称的条件下，证明了对所有p > 1和q > 0，Lp对偶Minkowski问题的解存在。
• 解的存在性通过法空间中逼近椭球上测度浓度行为的反证法得以证明。
• 作者证明了嵌套集合上测度的比值满足µv(zε + 1/(2n)Eε) ≥ ℵ₃ µv(Ωε)，当ε → 0时导致矛盾。
• 矛盾源于不等式|˜v(o)| / |˜v(zε)| ≤ ℵ₄ (2ε / (γ hε))^{1/n}，由于limε→0+ ε/hε = 0，该不等式在ε → 0时无法成立。
• 当q > n时，该方法失效，因为∥Dv(y)∥^{n−q}在v(y)较小时可能趋于无穷，从而破坏关键估计。
• 该结果将经典Minkowski问题和Lp面积测度问题推广至更广泛的Lp对偶曲率测度框架。