[论文解读] The local Langlands correspondence for inner forms of $SL_n$

Anne‐Marie Aubert, Paul Baum+2 more|MIMS EPrints (University of Southampton)|May 12, 2013

Advanced Algebra and Geometry被引用 5

一句话总结

本文为非阿基米德局部域 $F$ 上所有 $π_n(F)$ 的内形的局部兰兰兹对应关系建立了对应，证明了增强兰兰兹参数（即 $π_n(F)$ 的兰兰兹参数与一个连通分支群的不可约表示的配对）与所有内形的不可约酉表示的并集（模等价关系）之间存在双射。该结果可推广至阿代尔情形，并使用邻近域方法处理正特征情形，证明在深度条件下与 $π_n$ 内形的 LLC 兼容。

ABSTRACT

Let F be a non-archimedean local field. We establish the local Langlands correspondence for all inner forms of the group $SL_n (F)$. It takes the form of a bijection between, on the one hand, conjugacy classes of Langlands parameters for $SL_n (F)$ enhanced with an irreducible representation of an S-group and, on the other hand, the union of the spaces of irreducible admissible representations of all inner forms of $SL_n (F)$. An analogous result is shown in the archimedean case. To settle the case where F has positive characteristic, we employ the method of close fields. We prove that this method is compatible with the local Langlands correspondence for inner forms of $GL_n (F)$, when the fields are close enough compared to the depth of the representations.

研究动机与目标

• 为所有 $π_n(F)$ 的内形（包括正特征情形）完成局部兰兰兹对应关系。
• 在 $π_n(F)$ 的内形的不可约酉表示与增强兰兰兹参数之间定义一个规范双射。
• 将对应关系扩展至阿代尔情形。
• 在深度约束下，证明邻近域方法与 $π_n(F)$ 内形的 LLC 兼容。
• 阐明连通分支群 $πφ$ 与 $πφ$ 在参数化 $π_n(F)$ 内形的 $L$-包时的作用。

提出的方法

• 将增强兰兰兹参数 $Φ^e(G^\sharp)$ 定义为对 $(φ, \rho)$，其中 $φ$ 是 $G^\sharp = \ker(\mathrm{Nrd}) \subset \mathrm{GL}_m(D)$ 的兰兰兹参数，且 $\rho \in \mathrm{Irr}(\mathcal{S}_\phi)$，其中 $\mathcal{S}_\phi = Z_{\mathrm{SL}_n(\mathbb{C})}(\mathrm{im}\,\phi)/Z_{\mathrm{SL}_n(\mathbb{C})}(\mathrm{im}\,\phi)^\circ$。
• 利用 $π_n(\mathbb{C})$ 对 $π_n(\mathbb{C})$ 和 $ππ_n(\mathbb{C})$ 的共轭作用来定义 $πφ$ 与 $πφ$，并通过一个短正合列将其与标准连通分支群 $S_\phi$ 关联。
• 应用邻近域方法，通过构造一个与 $F$ $l$-邻近的 $p$-进域 $χτ F$，将正特征情形约化为特征零情形，使得深度 $\leq l$ 的表示可相容提升。
• 利用雅克布-兰兰兹对应关系与 $\zeta_r$-函子的相容性，将 $π_m(D)$ 与 $π_{kd}(F)$ 的表示关联，确保在邻近域同构下，$π_{D,m}(\pi)$ 可提升至 $π_{\widetilde{F},kd}$。
• 证明互换算符 $I_\gamma$ 与上链 $\kappa_{\phi^\sharp}$ 在邻近域同构下保持不变，从而确保 $πφ/\mathcal{Z}_\phi$-作用在 $Π_{\phi^\sharp}(G^\sharp)$ 上可正确提升。
• 通过证明 $π_{\mathbb{C}}[\mathcal{S}_\phi/\mathcal{Z}_\phi, \kappa_{\phi^\sharp}]$-模结构与表示在 LLC 下的像匹配，建立规范双射 $π_{\mathrm{Irr}}(G^\sharp) \to \Phi^e(G^\sharp)$，利用同构 $π_{\mathbb{C}}[\mathcal{S}_\phi/\mathcal{Z}_\phi, \kappa_{\phi^\sharp}] \cong e_{\chi_G}\mathbb{C}[\mathcal{S}_\phi]$。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将局部兰兰兹对应关系扩展至非阿基米德局部域 $F$ 上 $π_n(F)$ 的所有内形，包括正特征情形？
• RQ2 使用增强兰兰兹参数时，$π_n(F)$-$L$-包的正确参数化是什么？$πφ$ 与 $πφ$ 如何对标准 $S_\phi$ 进行细化？
• RQ3 邻近域方法在多大程度上与 $π_n(F)$ 内形的局部兰兰兹对应关系兼容，特别是对于有界深度的表示？
• RQ4 在邻近域背景下，雅克布-兰兰兹对应关系如何与 $\zeta_r$-函子及 $π_{D,m}$-映射相互作用？
• RQ5 能否在所有内形（包括阿代尔情形）上统一构造规范双射 $π_{\mathrm{Irr}}(G^\sharp) \to \Phi^e(G^\sharp)$？

主要发现

• 为 $π_n(F)$ 的内形建立了局部兰兰兹对应关系，作为增强兰兰兹参数集 $Φ^e(G^\sharp)$ 与所有 $π_n(F)$ 内形的不可约酉表示的并集（模等价关系）之间的规范双射。
• 对于 $π_n(F)$，连通分支群 $πφ$ 定义为商 $Z_{\mathrm{SL}_n(\mathbb{C})}(\mathrm{im}\,\phi)/Z_{\mathrm{SL}_n(\mathbb{C})}(\mathrm{im}\,\phi)^\circ$，并通过包含 $πφ$ 的短正合列对标准 $S_\phi$ 进行细化。
• 对于正特征的 $p$-进域 $F$，在邻近域方法下，若域为 $l$-邻近且 $l$ 足够大以覆盖表示的深度，则 LLC 可约化为特征零情形。
• 互换算符 $I_\gamma$ 与上链 $\kappa_{\phi^\sharp}$ 在邻近域同构下保持不变，从而确保 $πφ/\mathcal{Z}_\phi$-作用在 $Π_{\phi^\sharp}(G^\sharp)$ 上可正确从邻近域提升。
• $π_{\mathbb{C}}[\mathcal{S}_\phi/\mathcal{Z}_\phi, \kappa_{\phi^\sharp}]$-模结构在 $Π_{\phi^\sharp}(G^\sharp)$ 上同构于 $e_{\chi_G}\mathbb{C}[\mathcal{S}_\phi]$，确认了参数化与 $G^\sharp$ 表示理论的相容性。
• 该结果可推广至阿代尔情形，表明对 $π_n(\mathbb{R})$ 与 $π_n(\mathbb{C})$ 同样成立，从而完成了 $π_n$ 所有内形的 LLC。