[论文解读] The local principle of large deviations for compound Poisson process with catastrophes

A. V. Logachov, O. Logachova+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 19, 2018

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 24被引用 3

一句话总结

本文建立了描述具有线性增长和灾难的种群动态的连续时间马尔可夫过程的局部大偏差原理（LLDP），其中灾难以泊松过程发生，并随机消除种群的一部分。关键贡献是在跳跃大小分布和灾难强度满足一般条件时，对过程最大值的严格渐近上界以及LLDP的证明。

ABSTRACT

The continuous time Markov process considered in this paper belongs to a class of population models with linear growth and catastrophes. There, the catastrophes happen at the arrival times of a Poisson process, and at each catastrophe time, a randomly selected portion of the population is eliminated. For this population process, we derive an asymptotic upper bound for the maximum value and prove the local large deviation principle.

研究动机与目标

• 分析具有线性出生和泊松驱动灾难的种群过程的大偏差行为。
• 为该过程建立局部大偏差原理（LLDP），以表征种群规模出现大偏差的罕见事件。
• 推导该过程在有限时间范围内最大值的渐近上界。
• 将大偏差理论框架扩展至具有随机重置和灾难的过程，特别是在种群模型的背景下。
• 为使用大偏差技术研究在随机灾难事件下种群生存的最优策略提供基础。

提出的方法

• 将种群过程建模为具有线性漂移和在泊松到达时间发生跳跃的连续时间马尔可夫过程，以表示灾难。
• 将该过程定义为复合泊松过程，其随机跳跃大小表示每次灾难时刻被消除的种群比例。
• 通过灾难次数和灾难前种群大小的条件化分析路径行为。
• 应用大偏差技术，包括指数倾斜和对罕见事件的条件化，推导大偏差概率的上界。
• 引入辅助事件如 $ A_k $, $ B_k $, $ G_{k_l} $, 和 $ H_{k_l} $，以控制灾难之间的轨迹行为。
• 利用跳跃大小分布与灾难前状态独立以及跳跃大小具有统一性的假设，建立转移概率的上界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在有限时间区间内，带灾难的复合泊松过程中最大种群大小的渐近行为是什么？
• RQ2 如何为具有随机跳跃和重置事件的过程严格建立局部大偏差原理？
• RQ3 控制罕见事件（即种群规模显著偏离典型路径）概率的速率函数是什么？
• RQ4 灾难强度和跳跃大小分布如何影响极端种群值的可能性？
• RQ5 能否为过程的最大值推导出在所有时间范围上一致成立的上界？

主要发现

• 推导出该过程在有限时间区间内最大值的渐近上界，表明大值出现的概率呈指数级稀少。
• 证明了该过程的局部大偏差原理（LLDP），建立了表征罕见事件概率衰减速率的速率函数。
• 在跳跃大小分布满足统一性条件的假设下，最大值的上界被证明随时间呈指数衰减。
• 观测到一条路径达到大值 $ g^* $ 的概率被一个包含 $ \varepsilon^3 $, $ \Delta $ 和灾难次数的表达式所上界控制，表明其呈指数衰减。
• 证明依赖于对灾难次数的条件化，并界定了在避免灭绝的同时达到高种群水平的路径的可能性。
• 证明了在不跌落到阈值以下的情况下存活多个灾难的条件概率上界随事件数呈指数衰减，确认了此类极端路径的稀有性。